Calcule as seguintes integrais definidas: integral0^2 xraiz(1+x^2)+raiz(1+x^2)^3 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
integral0^2 xraizl(1+x^2r)+raizl(1+x^2r)^3,dx
O conteúdo principal é integração por substituição, e vamos precisar usar propriedades de radicais e a derivada de raiz1+x^2.

Passo 2

Primeiro simplificamos o denominador. Definimos
t = raiz1+x^2,
então (1+x^2) = t^2 e (1+x^2)^3/2 = t^3. Logo

Passo 3

raiz(1+x^2)+raiz(1+x^2)^3 = raizt^2 + t^3 = traiz1+t
Assim a integral vira
integral xtraiz1+t,dx

Passo 4

Repare que a derivada de t=raiz1+x^2 é
dtdx = xraiz1+x^2 = xt
Então podemos fazer a substituição u = t, com du = (x/t),dx, e os limites se tornam
u(0)=raiz1+0=1, u(2)=raiz1+4=raiz5
A integral transforma-se em
integral1^raiz5 duraiz1+u

Passo 5

Agora calculamos a integral em u:
integral duraiz1+u = integral (1+u)^-1/2,du = 2(1+u)^1/2 + C
Avaliando de 1 a raiz5
2l(raiz1+raiz5; - ;raiz1+1r) = 2l(raizraiz5+1 - raiz2r)

Resposta

2\bigl(\sqrt{\sqrt5+1} - \sqrt2\bigr)

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