Assuma que f é contínua em [1, infty[ e encontre, justificando sua resposta, f(x) dada pela equação:
ln (x)=integral1^x f(z) d z
Sugestão: Use o Teorema Fundamental do Cálculo.

Passo 1

O enunciado pede para achar uma função contínua f em [1,infty[ tal que ln(x)=integral1^xf(z),dz. O conteúdo principal é o Teorema Fundamental do Cálculo, que relaciona derivada de uma integral acumulada à função integranda.

Passo 2

Para achar f(x), diferenciamos ambos os lados da igualdade em relação a x. Pela derivada do logaritmo natural e pelo Teorema Fundamental do Cálculo, temos:
ddxl[ln(x)r]=1x,
ddxl[integral1^xf(z),dzr]=f(x)

Passo 3

Igualando as derivadas, obtemos f(x)=1/x. Como 1/x é contínua em [1,infty[ e satisfaz integral1^11/z,dz=0=ln(1), a solução está completa.

Resposta

f(x)=1x

Exercícios relacionados