Calcule as seguintes integrais definidas: integral0^pi sin ^2(x) d x

Passo 1

Então, a gente tem uma integral definida para calcular: integral0^pi sin^2(x) dx. Isso faz parte do estudo de Cálculo, mais especificamente de integrais envolvendo funções trigonométricas. Para resolver isso, vamos precisar usar algumas identidades trigonométricas e técnicas básicas de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função sin^2(x) de uma forma que seja mais fácil de integrar. Existe uma identidade trigonométrica que nos ajuda com isso.

Passo 3

A identidade que vamos usar é a seguinte:
sin^2(x) = 1 - cos(2x)2
Essa identidade transforma o quadrado do seno em uma expressão com cosseno duplo, o que facilita a integração.

Passo 4

Substituindo a identidade na integral, temos:
integral0^pi sin^2(x) dx = integral0^pi 1 - cos(2x)2 dx
Podemos separar a fração:
= 12 integral0^pi (1 - cos(2x)) dx

Passo 5

Agora, vamos integrar termo a termo:
12 [ integral0^pi 1 , dx - integral0^pi cos(2x) , dx ]
A integral de 1 em relação a x é simplesmente x, e a integral de cos(2x) é sin(2x)2.

Passo 6

Aplicando as integrais:
12 [ x |0^pi - sin(2x)2 |0^pi ]
Calculando nos limites de integração:
  • Para o primeiro termo: pi - 0 = pi
  • Para o segundo termo: sin(2pi)2 - sin(0)2 = 0 - 0 = 0
Então, temos:
12 (pi - 0) = pi2

Resposta

O valor da integral definida é pi2.

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