Calcule as seguintes integrais definidas:
integral0^pi2 e^sin x cos x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
integral0^pi2 e^sin xcos x , dx
O conteúdo aqui é integração por substituição, pois vemos um composto e^sin x multiplicado por cos x, que é exatamente a derivada de sin x.

Passo 2

Escolhemos a substituição
u = sin x,
pois isso faz com que
du = cos x , dx
Assim o e^sin xcos x,dx vira e^u,du.

Passo 3

Agora ajustamos os limites de integração. Quando x=0, temos
u = sin(0) = 0
Quando x = tfracpi2, temos
u = sinl(tfracpi2r) = 1
Logo a integral passa a ser
integral0^1 e^u , du

Passo 4

Integramos e^u em relação a u:
integral e^u , du = e^u + C
Aplicando os limites de 0 a 1, temos
l[e^ur]0^1 = e^1 - e^0 = e - 1

Resposta

e - 1

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