use o teste da integral para determinar se a série dada é convergente ou divergente.
Passo 1
O enunciado pede para usar o teste da integral para decidir a convergência da série
O conteúdo aqui é o teste da integral, que diz que, se
for contínua, positiva e decrescente para
, então a série
e a integral imprópria
convergem ou divergem conjuntamente. Vamos definir
e aplicar o teste.
Passo 2
Verificamos as condições do teste da integral para
-
é contínua em pois é composta de exponencial. -
é estritamente positiva, pois para todo . -
é decrescente em , pois a derivada
é negativa para todo
.
Como todas as condições estão atendidas, podemos aplicar o teste.
Passo 3
Calculamos a integral imprópria
Primeiro, achamos a antiderivada de
:
Agora avaliamos no intervalo
e tomamos o limite
:
Como
quando
, a integral imprópria vale
que é finita.
Passo 4
Pelo teste da integral, como
converge, a série
também converge.
Resposta
A série
é convergente.