use o teste da integral para determinar se a série dada é convergente ou divergente.
sumn=1^+infty e^-5 n

Passo 1

O enunciado pede para usar o teste da integral para decidir a convergência da série
sumn=1^+infty e^-5n
O conteúdo aqui é o teste da integral, que diz que, se f(x) for contínua, positiva e decrescente para x>=1, então a série sum f(n) e a integral imprópria integral1^inftyf(x),dx convergem ou divergem conjuntamente. Vamos definir f(x)=e^-5x e aplicar o teste.

Passo 2

Verificamos as condições do teste da integral para
f(x)=e^-5x(x>=1):
  1. f é contínua em [1,infty) pois é composta de exponencial.
  2. f é estritamente positiva, pois e^-5x>0 para todo x.
  3. f é decrescente em [1,infty), pois a derivada
f'(x) = -5e^-5x
é negativa para todo x.
Como todas as condições estão atendidas, podemos aplicar o teste.

Passo 3

Calculamos a integral imprópria
integral1^infty e^-5x,dx
Primeiro, achamos a antiderivada de e^-5x:
integral e^-5x,dx = -15,e^-5x
Agora avaliamos no intervalo [1,,b] e tomamos o limite btoinfty:
integral1^b e^-5x,dx = l[-tfrac15e^-5xr]1^b = -tfrac15e^-5b - l(-tfrac15e^-5cdot1r) = tfrac15e^-5 - tfrac15e^-5b
Como e^-5bto0 quando btoinfty, a integral imprópria vale
integral1^infty e^-5x,dx = 15e^-5,
que é finita.

Passo 4

Pelo teste da integral, como
integral1^infty e^-5x,dx
converge, a série
sumn=1^infty e^-5n
também converge.

Resposta

A série sumn=1^inftye^-5n é convergente.

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