Determine a massa e o centro de massa da lâmina que ocupa a região D e tem função densidade rho, quando:
Determine a massa de cada uma das seguintes lâminas:
^* D=(x, y) in R^2: x <= y <= x+1,0 <= x <= 1 e a densidade é o produto das coordenadas do ponto.
Calcule o centro de massa da região.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a massa e o centro de massa de uma lâmina que ocupa a região
D = (x,y)inR^2 : 0 <= x <= 1,; x <= y <= x+1
com densidade rho(x,y)=xy. Vamos usar integração dupla para obter a massa
M = integral duplaD rho(x,y),dA
e os momentos
Mx = integral duplaD x,rho(x,y),dA, My = integral duplaD y,rho(x,y),dA
de onde saem as coordenadas do centro de massa
bar x = Mx/M e bar y = My/M.

Passo 2

Para a massa calculamos
M = integralx=0^1integraly=x^x+1 x,y ,dy,dx
Fazendo a integral em y:
integraly=x^x+1y,dy = 12l[(x+1)^2 - x^2r] = 12(2x+1),
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M = integral0^1 xcdot12(2x+1),dx = 12integral0^1(2x^2 + x),dx = 12l[tfrac23 + tfrac12r] = 712

Passo 3

Para o momento Mx = integral duplaD x,rho,dA temos
Mx = integral0^1integralx^x+1 xcdot(xy),dy,dx = integral0^1 x^2integralx^x+1y,dy,dx = integral0^1 x^2cdot12(2x+1),dx = 12integral0^1(2x^3 + x^2),dx = 12l[tfrac12 + tfrac13r] = 512

Passo 4

Para o momento My = integral duplaD y,rho,dA fazemos
My = integral0^1integralx^x+1 y,(x y),dy,dx = integral0^1 xintegralx^x+1y^2,dy,dx = integral0^1 xcdot13l[(x+1)^3 - x^3r],dx
Como (x+1)^3 - x^3 = 3x^2+3x+1, o integrando fica
x3(3x^2+3x+1) = x^3 + x^2 + x3,
e
My = integral0^1l(x^3 + x^2 + x3r),dx = 14 + 13 + 16 = 34

Passo 5

As coordenadas do centro de massa são
bar x = MxM = tfrac512tfrac712 = 57, bar y = MyM = tfrac34tfrac712 = 97

Resposta

A massa da lâmina é
M = 712
e o centro de massa é
(bar x,bar y) = l(tfrac57,,tfrac97r)

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