EXERCICIO 7: Sejam X e Y variáveis aleatórias com edp conjunta dada por
f(x, y)=316 x y^2, 0<x<2, 0 < y <2
  1. Encontre f*(x) e fY(y), ou seja, as fdp marginais.

Passo 1

O enunciado dá a densidade conjunta
f(x,y)=316,x,y^2, 0<x<2,;0<y<2
e pede as densidades marginais fX(x) e fY(y). Para isso usamos as definições
fX(x)=integral-infty^inftyf(x,y),dy, fY(y)=integral-infty^inftyf(x,y),dx,
mas, como a densidade é não nula só em 0<x<2 e 0<y<2, os limites de integração vão de 0 a 2.

Passo 2

Calculamos
fX(x)=integral0^2316,x,y^2,dy =316,xintegral0^2y^2,dy =316,xcdot[y^33]0^2 =316,xcdot83 =12,x
Logo, para 0<x<2 vale
fX(x)=12,x,
e fora desse intervalo fX(x)=0.

Passo 3

De modo análogo,
fY(y)=integral0^2316,x,y^2,dx =316,y^2integral0^2x,dx =316,y^2cdot[x^22]0^2 =316,y^2cdot21 =38,y^2
Assim, para 0<y<2 temos
fY(y)=38,y^2,
e fora desse intervalo fY(y)=0.

Passo 4

Como checagem, note que
integral0^2fX(x),dx =integral0^2x2,dx =[x^24]0^2 =1,
e
integral0^2fY(y),dy =integral0^238,y^2,dy =38cdot83 =1,
confirmando que são densidades válidas.

Resposta

fX(x)=tfrac12,x,&0<x<2,0,&caso contrário,á
fY(y)=tfrac38,y^2,&0<y<2,0,&caso contrárioá

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