Calcule as seguintes integrais definidas: integral0^pi4 raizx^2+1 d x

Passo 1

Resumindo o enunciado, temos a integral definida de zero a pi/4 de raizx^2+1,dx. O conteúdo principal é integração de função irracional do tipo raizx^2+a^2, e vamos precisar usar integração por partes e a integral de 1/raizx^2+1.

Passo 2

Para encontrar a antiderivada de raizx^2+1, usamos integração por partes definindo:
u=raizx^2+1, dv=dx
Então temos:
du=xraizx^2+1,dx, v=x

Passo 3

Aplicando a fórmula de partes, integral u,dv = u v - integral v,du, obtemos:
integralraizx^2+1,dx = xraizx^2+1 - integral xcdotxraizx^2+1,dx = xraizx^2+1 - integralx^2raizx^2+1,dx

Passo 4

No segundo integral, escrevemos x^2 = (x^2+1)-1 e separamos:
integralx^2raizx^2+1,dx = integralx^2+1raizx^2+1,dx - integral1raizx^2+1,dx = integralraizx^2+1,dx - integral1raizx^2+1,dx
Substituindo de volta, temos:
2integralraizx^2+1,dx = xraizx^2+1 + integral1raizx^2+1,dx

Passo 5

Sabemos que integral1raizx^2+1,dx = lnl(x+raizx^2+1r). Logo a antiderivada geral é:
F(x) = integralraizx^2+1,dx = x2raizx^2+1 + 12lnl(x+raizx^2+1r) + C

Passo 6

Agora aplicamos os limites de 0 a pi/4:
integral0^pi/4raizx^2+1,dx = Fl(tfracpi4r) - F(0)

Passo 7

Calculando cada termo, para x=pi/4:
Fl(tfracpi4r) = pi/42raiz(pi/4)^2+1 + 12lnl(tfracpi4+raiz(pi/4)^2+1r),
para x=0 temos F(0)=0.

Passo 8

Concluímos que
$$\int_{0}{\pi/4}\sqrt{x2+1},dx = \frac{\pi}{8}\sqrt{\frac{\pi^2}{16}+1} + \frac{1}{2}\ln\Bigl(\frac{\pi}{4}+\sqrt{\frac{\pi^2}{16}+1}\Bigr).
$$

Passo 9

Essa expressão pode ser escrita de forma mais compacta como
$$\frac{\pi\sqrt{\pi^2+16}}{32} + \frac{1}{2}\ln\Bigl(\frac{\pi+\sqrt{\pi^2+16}}{4}\Bigr).
$$

Resposta

piraizpi^2+1632 + 12lnl(pi+raizpi^2+164r)

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