Calcule as seguintes integrais definidas:
Passo 1
Resumindo o enunciado, temos a integral definida de zero a
de
. O conteúdo principal é integração de função irracional do tipo
, e vamos precisar usar integração por partes e a integral de
.
Passo 2
Para encontrar a antiderivada de
, usamos integração por partes definindo:
Então temos:
Passo 3
Aplicando a fórmula de partes,
, obtemos:
Passo 4
No segundo integral, escrevemos
e separamos:
Substituindo de volta, temos:
Passo 5
Sabemos que
. Logo a antiderivada geral é:
Passo 6
Agora aplicamos os limites de 0 a
:
Passo 7
Calculando cada termo, para
:
para
Passo 8
Concluímos que
$$\int_{0}{\pi/4}\sqrt{x2+1},dx = \frac{\pi}{8}\sqrt{\frac{\pi^2}{16}+1} + \frac{1}{2}\ln\Bigl(\frac{\pi}{4}+\sqrt{\frac{\pi^2}{16}+1}\Bigr).
$$
Passo 9
Essa expressão pode ser escrita de forma mais compacta como
$$\frac{\pi\sqrt{\pi^2+16}}{32} + \frac{1}{2}\ln\Bigl(\frac{\pi+\sqrt{\pi^2+16}}{4}\Bigr).
$$