Encontre o comprimento do caminho percorrido por uma partícula que se move ao longo das curvas de equações dadas durante o intervalo de tempo especificado em cada um dos casos abaixo:
(d) sigma(t)=(a(cos t+t sin t), a(sin t-t cos t)), 0 <= t <= 2 pi.

Passo 1

Vamos resolver um exercício que pede para encontrar o comprimento do caminho percorrido por uma partícula que se movimenta ao longo de uma curva definida por equações paramétricas. O conteúdo envolvido aqui é o cálculo de comprimento de curvas usando integrais. Para resolver, vamos precisar conhecer as fórmulas para derivadas e integrais, além de entender como aplicar essas no cálculo de comprimento de trajetórias.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as equações paramétricas da curva:
sigma(t) = (a(cos t + t sin t), , a(sin t - t cos t)), 0 <= t <= 2pi
Aqui, e .

Passo 3

Para encontrar o comprimento do caminho, usamos a fórmula do comprimento de uma curva parametrizada:
L = integrala^b raiz(dxdt)^2 + (dydt)^2 , dt
Neste caso, e .

Passo 4

Vamos calcular as derivadas dxdt = a(-sin t + sin t + t cos t) = a t cos t e dydt = a(cos t - cos t + t sin t) = a t sin t .
Primeiro, derivamos :
Segundo, derivamos :

Passo 5

Substituímos as derivadas na fórmula do comprimento:
L = integral0^2pi raiz(a t cos t)^2 + (a t sin t)^2 , dt

Passo 6

Simplificamos a expressão dentro da raiz:
raiz(a t cos t)^2 + (a t sin t)^2 = raiza^2 t^2 (cos^2 t + sin^2 t) = raiza^2 t^2 = a t
Isso porque .

Passo 7

Agora, a integral fica mais simples:
L = integral0^2pi a t , dt = a integral0^2pi t , dt

Passo 8

Calculamos a integral:
a integral0^2pi t , dt = a [ t^22 ]0^2pi = a ( (2pi)^22 - 0 ) = a ( 4pi^22 ) = 2 a pi^2

Resposta

O comprimento do caminho percorrido pela partícula é .

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