Encontre o comprimento do caminho percorrido por uma partícula que se move ao longo das curvas de equações dadas durante o intervalo de tempo especificado em cada um dos casos abaixo:
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Passo 1
Vamos resolver um exercício que pede para encontrar o comprimento do caminho percorrido por uma partícula que se movimenta ao longo de uma curva definida por equações paramétricas. O conteúdo envolvido aqui é o cálculo de comprimento de curvas usando integrais. Para resolver, vamos precisar conhecer as fórmulas para derivadas e integrais, além de entender como aplicar essas no cálculo de comprimento de trajetórias.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as equações paramétricas da curva:
Aqui,
e
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Passo 3
Para encontrar o comprimento do caminho, usamos a fórmula do comprimento de uma curva parametrizada:
Neste caso,
e
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Passo 4
Vamos calcular as derivadas
e
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Primeiro, derivamos
:
Segundo, derivamos
:
Passo 5
Substituímos as derivadas na fórmula do comprimento:
Passo 6
Simplificamos a expressão dentro da raiz:
Isso porque
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Passo 7
Agora, a integral fica mais simples:
Passo 8
Calculamos a integral:
Resposta
O comprimento do caminho percorrido pela partícula é
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