Encontre o comprimento do caminho percorrido por uma partícula que se move ao longo das curvas de equações dadas durante o intervalo de tempo especificado em cada um dos casos abaixo:
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão que pede para encontrar o comprimento do caminho percorrido por uma partícula que se move ao longo das curvas definidas pela equação
no intervalo de tempo de
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo sobre comprimento de curva. Precisamos entender como calcular o comprimento de uma trajetória definida parametricamente.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada da função
em relação a
. A derivada nos dá a velocidade da partícula em cada instante de tempo, e é essencial para calcular o comprimento do caminho.
A função dada é:
Derivando cada componente em relação a
:
Passo 3
Agora, precisamos calcular o módulo (ou norma) do vetor derivada
. Esse módulo representa a velocidade instantânea da partícula.
O módulo de
é dado por:
Então,
Passo 4
Com o módulo da derivada, podemos agora integrar essa expressão no intervalo de tempo dado para encontrar o comprimento total do caminho percorrido.
A fórmula para o comprimento
da curva é:
Substituindo os valores que temos:
Passo 5
Vamos calcular essa integral. Como
é uma constante, a integral fica bem simples:
Resposta
O comprimento do caminho percorrido pela partícula é
unidades.