Encontre o comprimento do caminho percorrido por uma partícula que se move ao longo das curvas de equações dadas durante o intervalo de tempo especificado em cada um dos casos abaixo:
(b) sigma(t)=(t, 1-3 t, 2+6 t), 0 <= t <= 2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão que pede para encontrar o comprimento do caminho percorrido por uma partícula que se move ao longo das curvas definidas pela equação no intervalo de tempo de . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo sobre comprimento de curva. Precisamos entender como calcular o comprimento de uma trajetória definida parametricamente.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada da função sigma(t) = (t, 1 - 3t, 2 + 6t) em relação a sigma'(t) = ( ddt t, ddt (1 - 3t), ddt (2 + 6t) ) = (1, -3, 6) . A derivada nos dá a velocidade da partícula em cada instante de tempo, e é essencial para calcular o comprimento do caminho.
A função dada é:
Derivando cada componente em relação a :

Passo 3

Agora, precisamos calcular o módulo (ou norma) do vetor derivada |sigma'(t)| = raiz1^2 + (-3)^2 + 6^2 = raiz1 + 9 + 36 = raiz46 . Esse módulo representa a velocidade instantânea da partícula.
O módulo de é dado por:
Então,

Passo 4

Com o módulo da derivada, podemos agora integrar essa expressão no intervalo de tempo dado para encontrar o comprimento total do caminho percorrido.
A fórmula para o comprimento L = integrala^b |sigma'(t)| , dt da curva é:
L = integral0^2 raiz46 , dt
Substituindo os valores que temos:

Passo 5

Vamos calcular essa integral. Como L = raiz46 integral0^2 dt = raiz46 times (2 - 0) = 2raiz46 é uma constante, a integral fica bem simples:

Resposta

O comprimento do caminho percorrido pela partícula é unidades.

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