Calcule as seguintes integrais definidas:
integral0^2(x^4-1)^3 cdot x^3 d x=

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida de uma função polinomial composta, usando o método de substituição. Vamos usar conhecimento de cálculo integral (substituição simples).

Passo 2

Seja feita a substituição u = x^4 - 1. Então podemos derivar:
du = 4x^3,dx Longrightarrow x^3,dx = 14,du

Passo 3

Precisamos também trocar os limites de integração. Quando x = 0, temos u = 0^4 - 1 = -1. Quando x = 2, temos u = 2^4 - 1 = 15.

Passo 4

Substituindo na integral original, obtemos:
integral0^2(x^4 - 1)^3 cdot x^3,dx = integralu=-1^15 u^3 cdot 14,du = 14 integral-1^15 u^3,du

Passo 5

Agora integramos u^3:
integral u^3,du = u^44
Portanto,
14 integral-1^15 u^3,du = 14 l[u^44r]-1^15 = 116l(15^4 - (-1)^4r)

Passo 6

Calculando os valores: 15^4 = 50625 e (-1)^4 = 1, logo
116(50625 - 1) = 5062416 = 3164

Resposta

3164

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