integral1^pi x ln x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral definida integral1^pi x ln x , dx. Esse exercício está na área de Cálculo Integral, mais especificamente usando a técnica de integração por partes. Para resolver, vamos precisar entender como aplicar essa técnica passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é integração por partes. Ela é baseada na fórmula:
integral u , dv = uv - integral v , du
Nessa fórmula, a gente escolhe partes da nossa integral para serem u e dv. Geralmente, escolhemos u como a função que fica mais simples quando derivada, e dv como o que sobra.

Passo 3

No nosso caso, temos integral x ln x , dx. Vamos escolher:
u = ln x e dv = x , dx
Agora, precisamos encontrar du e v:
du = 1x , dx e v = integral x , dx = x^22

Passo 4

Aplicando a fórmula da integração por partes:
integral x ln x , dx = uv - integral v , du
Substituindo u, v, du:
= ln x cdot x^22 - integral x^22 cdot 1x , dx
Simplificando a integral restante:
= x^22 ln x - 12 integral x , dx

Passo 5

Agora, resolvemos a segunda integral:
12 integral x , dx = 12 cdot x^22 = x^24
Então, nossa expressão fica:
x^22 ln x - x^24 + C

Passo 6

Como estamos lidando com uma integral definida de 1 a pi, vamos calcular os valores nos limites:
[ x^22 ln x - x^24 ]1^pi
Substituindo x = pi:
pi^22 ln pi - pi^24
Substituindo x = 1 (lembre que ln 1 = 0):
0 - 14

Resposta

Finalizando, a integral integral1^pi x ln x , dx é igual a:
pi^22 ln pi - pi^24 + 14

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