Calcule as seguintes integrais definidas:
integral0^3 x raizx+1 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
integral0^3 xraizx+1,dx
O conteúdo aqui é cálculo de integrais definidas e vamos usar uma substituição para simplificar o integrando, além de aplicar a regra de potência para integrar.

Passo 2

A estratégia é usar a substituição u = x+1. Assim temos
du = dx
e
x = u - 1
Com isso, transformamos o integrando em função de u.

Passo 3

Precisamos também ajustar os limites de integração. Quando x=0, temos u=0+1=1. Quando x=3, temos u=3+1=4. Então a integral vira
integralu=1^4 (u-1)raizu,du

Passo 4

Agora escrevemos (u-1)raizu como potências:
(u-1)raizu = (u-1)u^1/2 = u^3/2 - u^1/2
Então a integral fica
integral1^4 l(u^3/2 - u^1/2r),du

Passo 5

Aplicamos a regra de potência em cada termo. Lembrando que
integral u^n,du = u^n+1n+1 + C
Temos
integral u^3/2,du = 25u^5/2,
integral u^1/2,du = 23u^3/2
Logo o antiderivado é
F(u) = 25u^5/2 - 23u^3/2

Passo 6

Agora avaliamos F(u) nos limites de 1 a 4:
Para u=4:
F(4) = 25cdot4^5/2 - 23cdot4^3/2 = 25cdot32 - 23cdot8 = 645 - 163 = 192 - 8015 = 11215
Para u=1:
F(1) = 25cdot1^5/2 - 23cdot1^3/2 = 25 - 23 = -415
Subtraindo, concluímos que
integral0^3 xraizx+1,dx = F(4) - F(1) = 11215 - l(-415r) = 11615

Resposta

11615

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