Determine as seguintes derivadas utilizando o teorema fundamental do cálculo (TFC).
dd u integralln (u)^3 sin ^pi(y) d y

Passo 1

O enunciado pede a derivada em relação a u da integral integralln(u)^3 sin^pi(y),dy. O conteúdo envolvido é o Teorema Fundamental do Cálculo (TFC) na forma geral para limites de integração dependentes de u, além da regra da cadeia.

Passo 2

Pela forma geral do TFC, se temos F(u)=integrala(u)^b(u) f(y),dy, então
dFdu=fl(b(u)r),b'(u);-;fl(a(u)r),a'(u)

Passo 3

No nosso caso, f(y)=sin^pi(y), o limite superior é constante b(u)=3 (logo b'(u)=0) e o limite inferior é a(u)=ln(u).

Passo 4

Calculamos a derivada do limite inferior:
a'(u)=ddul(ln(u)r)=1u

Passo 5

Aplicando o TFC, só sobra o termo do limite inferior, com sinal negativo:
dduintegralln(u)^3sin^pi(y),dy = -sin^pil(ln(u)r);cdot;1u

Resposta

-\dfrac{(\sin(\ln(u)))^{\pi}}{u}

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