Obtenha a área abaixo das curvas a seguir tanto pelo cálculo direto da área (como você fazia antes de aprender integral definida) como por integral definida e conclua sobre.
Retas
no intervalo
e
no intervalo
.
Retas
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar a área abaixo de duas retas específicas: a primeira é $ y = x $ no intervalo de $ x $ de 0 a 1, e a segunda é $ y = -x + 2 $ no intervalo de $ x $ de 1 a 2. Vamos usar duas abordagens para isso: uma calculando a área diretamente, como fazemos com figuras geométricas básicas, e outra usando integral definida, que é uma ferramenta mais avançada para calcular áreas sob curvas. Para resolver, vamos precisar entender um pouco de geometria das retas e como funcionam as integrais definidas.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a área de forma direta, sem usar integrais. Olha só:
-
Para a reta $ y = x $ de $ x = 0 $ a $ x = 1 $:
- Essa reta forma um triângulo no primeiro quadrante com a base de 1 unidade (de 0 a 1) e a altura também de 1 unidade (pois quando $ x = 1 $, $ y = 1 $).
- A área de um triângulo é $ \frac{base \times altura}{2} $.
- Então, a área é $ \frac{1 \times 1}{2} = 0,5 $.
-
Para a reta $ y = -x + 2 $ de $ x = 1 $ a $ x = 2 $:
- Essa reta também forma um triângulo, mas de base 1 unidade (de 1 a 2) e altura de 1 unidade (pois quando $ x = 1 $, $ y = 1 $; e quando $ x = 2 $, $ y = 0 $).
- Novamente, a área é $ \frac{1 \times 1}{2} = 0,5 $.
-
Somando as duas áreas:
- $ 0,5 + 0,5 = 1 $.
Então, pela forma direta, a área total é 1 unidade quadrada.
Passo 3
Agora, vamos calcular usando integração definida. Para isso, precisamos lembrar que a integral de uma função $ y = f(x) $ entre dois pontos $ a $ e $ b $ nos dá a área sob a curva entre esses pontos.
-
Integral da reta $ y = x $ de $ 0 $ a $ 1 $:
- $ \int_{0}^{1} x , dx $
- A antiderivada de $ x $ é $ \frac{x^2}{2} $.
- Avaliando de 0 a 1: $ \frac{1^2}{2} - \frac{0^2}{2} = \frac{1}{2} = 0,5 $.
-
Integral da reta $ y = -x + 2 $ de $ 1 $ a $ 2 $:
- $ \int_{1}^{2} (-x + 2) , dx $
- A antiderivada de $ -x + 2 $ é $ -\frac{x^2}{2} + 2x $.
- Avaliando de 1 a 2:
- Em $ x = 2 $: $ -\frac{4}{2} + 4 = -2 + 4 = 2 $.
- Em $ x = 1 $: $ -\frac{1}{2} + 2 = -0,5 + 2 = 1,5 $.
- Diferença: $ 2 - 1,5 = 0,5 $.
-
Somando as duas integrais:
- $ 0,5 + 0,5 = 1 $.
Portanto, pela integral definida, a área total também é 1 unidade quadrada.
Resposta
A área total abaixo das retas $ y = x $ e $ y = -x + 2 $ nos respectivos intervalos é 1 unidade quadrada. Vimos que tanto pelo cálculo direto usando geometria quanto pela integral definida, chegamos ao mesmo resultado, confirmando que ambas as abordagens são válidas para encontrar áreas sob curvas.