Uma partícula se move ao longo de uma linha reta com velocidade em metros por segundo. Encontre: (i) o deslocamento e (ii) a distância total percorrida no intervalo de tempo dado.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre uma partícula que se move em linha reta com uma velocidade dada pela função $ v(t) = 3t - 5 $ metros por segundo, no intervalo de tempo de $ t = 0 $ até $ t = 3 $ segundos. Nosso objetivo é encontrar dois valores:
  1. Deslocamento: que é a mudança de posição da partícula nesse intervalo.
  2. Distância total percorrida: que é a soma de todos os caminhos percorridos, independentemente da direção.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de Cálculo, especificamente integrais, que nos ajudam a encontrar áreas sob curvas, representando aqui o deslocamento e a distância.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o deslocamento. O deslocamento é dado pela integral da velocidade em relação ao tempo no intervalo considerado. Matematicamente, isso é representado por:
Deslocamento = integrala^b v(t) , dt
Onde $ a $ e $ b $ são os limites do intervalo de tempo, nesse caso, 0 e 3 segundos.

Passo 3

Vamos calcular a integral da velocidade $ v(t) = 3t - 5 $ de 0 a 3:
v(t) = 3t - 5
Vamos integrar termo a termo:
Deslocamento = integral0^3 (3t - 5) , dt
integral (3t) , dt = 32 t^2
Então, a integral fica:
integral (-5) , dt = -5t

Passo 4

Agora, substituímos os limites de integração:
Para $ t = 3 $:
t = 3
Para $ t = 0 $:
32 (3)^2 - 5(3) = 32 times 9 - 15 = 13.5 - 15 = -1.5
Então, o deslocamento é:
t = 0
O sinal negativo indica que a partícula se deslocou 1.5 metros na direção oposta à considerada positiva.

Passo 5

Agora, vamos encontrar a distância total percorrida. Diferente do deslocamento, a distância considera o trajeto completo, independente da direção. Para isso, precisamos analisar se a velocidade muda de sinal no intervalo de tempo dado, o que indica uma mudança de direção.
Vamos encontrar quando $ v(t) = 0 $:
v(t) = 0
Isso significa que a partícula muda de direção em $ t = \frac{5}{3} $ segundos.

Passo 6

Dividimos o intervalo de tempo em duas partes:
  1. De $ t = 0 $ a $ t = \frac{5}{3} $
  2. De $ t = \frac{5}{3} $ a $ t = 3 $
Calculamos a distância em cada intervalo, lembrando de tomar o valor absoluto da velocidade para garantir que a distância seja positiva.
Para o primeiro intervalo:
t = 0
Substituindo $ t = \frac{5}{3} $:
t = 53
Para o segundo intervalo:
t = 53
Substituindo $ t = 3 $:
t = 3
E substituindo $ t = \frac{5}{3} $:
integral0^53 (5 - 3t) , dt = [5t - 32 t^2]0^53
Então, a distância no segundo intervalo é:
t = 53

Resposta

  • Deslocamento: -1.5 metros
  • Distância total percorrida: aproximadamente 4.1667 metros

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