Uma partícula se move ao longo de uma linha reta com velocidade
em metros por segundo. Encontre: (i) o deslocamento e (ii) a distância total percorrida no intervalo de tempo dado.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre uma partícula que se move em linha reta com uma velocidade dada pela função $ v(t) = 3t - 5 $ metros por segundo, no intervalo de tempo de $ t = 0 $ até $ t = 3 $ segundos. Nosso objetivo é encontrar dois valores:
- Deslocamento: que é a mudança de posição da partícula nesse intervalo.
- Distância total percorrida: que é a soma de todos os caminhos percorridos, independentemente da direção.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de Cálculo, especificamente integrais, que nos ajudam a encontrar áreas sob curvas, representando aqui o deslocamento e a distância.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o deslocamento. O deslocamento é dado pela integral da velocidade em relação ao tempo no intervalo considerado. Matematicamente, isso é representado por:
Onde $ a $ e $ b $ são os limites do intervalo de tempo, nesse caso, 0 e 3 segundos.
Passo 3
Vamos calcular a integral da velocidade $ v(t) = 3t - 5 $ de 0 a 3:
Vamos integrar termo a termo:
Então, a integral fica:
Passo 4
Agora, substituímos os limites de integração:
Para $ t = 3 $:
Para $ t = 3 $:
Para $ t = 0 $:
Então, o deslocamento é:
O sinal negativo indica que a partícula se deslocou 1.5 metros na direção oposta à considerada positiva.
Passo 5
Agora, vamos encontrar a distância total percorrida. Diferente do deslocamento, a distância considera o trajeto completo, independente da direção. Para isso, precisamos analisar se a velocidade muda de sinal no intervalo de tempo dado, o que indica uma mudança de direção.
Vamos encontrar quando $ v(t) = 0 $:
Isso significa que a partícula muda de direção em $ t = \frac{5}{3} $ segundos.
Passo 6
Dividimos o intervalo de tempo em duas partes:
- De $ t = 0 $ a $ t = \frac{5}{3} $
- De $ t = \frac{5}{3} $ a $ t = 3 $
Calculamos a distância em cada intervalo, lembrando de tomar o valor absoluto da velocidade para garantir que a distância seja positiva.
Para o primeiro intervalo:
Substituindo $ t = \frac{5}{3} $:
Para o segundo intervalo:
Substituindo $ t = 3 $:
E substituindo $ t = \frac{5}{3} $:
Então, a distância no segundo intervalo é:
Resposta
- Deslocamento:
metros-1.5 - Distância total percorrida: aproximadamente
metros4.1667