Calcule as seguintes integrais definidas: integral0^2 xe^x^2 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida de 0 a 2 de xe^x^2 d x. O conteúdo é integração por substituição, pois aparece uma função exponencial cujo expoente é x^2 e seu derivado 2x está presente multiplicando dx. Vamos usar essa relação para simplificar.

Passo 2

Escolhemos a substituição u = x^2. Então du = 2x,dx, ou seja, x,dx = 12,du. Precisamos também trocar os limites de integração: quando x = 0, u = 0^2 = 0; quando x = 2, u = 2^2 = 4.

Passo 3

Substituindo na integral original temos:
integral0^2 xe^x^2,dx = integralu=0^u=4 1e^u cdot 12,du = 12 integral0^4 e^-u,du

Passo 4

Agora basta integrar e^-u. Sabemos que
integral e^-u,du = -e^-u + C
Então a integral definida é
12 l[-e^-ur]0^4 = 12 l(-e^-4 - (-e^0)r) = 12 l(-e^-4 + 1r) = 1 - e^-42

Resposta

integral0^2 xe^x^2,dx = 1 - e^-42

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