Calcule as seguintes integrais definidas:
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular a integral dupla definida por:
Aqui, estamos trabalhando com integrais múltiplas, especificamente uma integral dupla. Para resolver isso, vamos precisar entender como integrar funções de duas variáveis, ou seja, integrar em relação a
e
. Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa essa integral dupla. Ela representa o cálculo do volume sob a superfície definida pela função
entre as regiões
de 0 a 2 e
de 1 a 5.
Para resolver, vamos integrar primeiro em relação a
e depois em relação a
.
Passo 3
Vamos começar integrando a função
em relação a
de 0 a 2. A integral de uma função em relação a
é chamada de integral iterada. Assim, temos:
Vamos resolver essa integral term por termo.
Passo 4
Primeiro, integrando o termo constante 3 em relação a
:
Aqui,
é a constante de integração, que podemos ignorar no cálculo de integrais definidas.
Passo 5
Agora, integrando o segundo termo
em relação a
:
Note que
é tratado como constante durante essa integração porque estamos integrando em relação a
.
Passo 6
Juntando os resultados das integrais dos dois termos:
Agora, vamos avaliar essa expressão nos limites de
e
:
Passo 7
Agora que integramos em relação a
, restou uma função de
. Vamos integrar
em relação a
de 1 a 5:
Vamos resolver essa integral também termo por termo.
Passo 8
Integrando o termo constante 6 em relação a
:
Passo 9
Integrando o termo
em relação a
:
Passo 10
Juntando os resultados das integrais dos dois termos:
Agora, vamos avaliar essa expressão nos limites de
e
:
Resposta
O valor da integral dupla é
.