Calcule as seguintes integrais definidas:
integral1^5 integral0^2(3-6 x^2 y) d x d y

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular a integral dupla definida por:
integral1^5 integral0^2(3 - 6 x^2 y) , dx , dy
Aqui, estamos trabalhando com integrais múltiplas, especificamente uma integral dupla. Para resolver isso, vamos precisar entender como integrar funções de duas variáveis, ou seja, integrar em relação a x e y. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa essa integral dupla. Ela representa o cálculo do volume sob a superfície definida pela função f(x, y) = 3 - 6x^2y entre as regiões x de 0 a 2 e y de 1 a 5.
Para resolver, vamos integrar primeiro em relação a x e depois em relação a y.

Passo 3

Vamos começar integrando a função 3 - 6x^2y em relação a x de 0 a 2. A integral de uma função em relação a x é chamada de integral iterada. Assim, temos:
integral0^2 (3 - 6x^2y) , dx
Vamos resolver essa integral term por termo.

Passo 4

Primeiro, integrando o termo constante 3 em relação a x:
integral 3 , dx = 3x + C
Aqui, C é a constante de integração, que podemos ignorar no cálculo de integrais definidas.

Passo 5

Agora, integrando o segundo termo -6x^2y em relação a x:
integral -6x^2y , dx = -6y integral x^2 , dx = -6y ( x^33 ) = -2y x^3
Note que y é tratado como constante durante essa integração porque estamos integrando em relação a x.

Passo 6

Juntando os resultados das integrais dos dois termos:
3x - 2y x^3
Agora, vamos avaliar essa expressão nos limites de x = 2 e x = 0:
[3(2) - 2y (2)^3] - [3(0) - 2y (0)^3] = [6 - 16y] - [0 - 0] = 6 - 16y

Passo 7

Agora que integramos em relação a x, restou uma função de y. Vamos integrar 6 - 16y em relação a y de 1 a 5:
integral1^5 (6 - 16y) , dy
Vamos resolver essa integral também termo por termo.

Passo 8

Integrando o termo constante 6 em relação a y:
integral 6 , dy = 6y + C

Passo 9

Integrando o termo -16y em relação a y:
integral -16y , dy = -16 ( y^22 ) = -8y^2

Passo 10

Juntando os resultados das integrais dos dois termos:
6y - 8y^2
Agora, vamos avaliar essa expressão nos limites de y = 5 e y = 1:
[6(5) - 8(5)^2] - [6(1) - 8(1)^2] = [30 - 200] - [6 - 8] = (-170) - (-2) = -170 + 2 = -168

Resposta

O valor da integral dupla é -168.

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