Encontre:
integral0^1 integral0^x(3-x-y) d y d x

Passo 1

O problema pede para calcular a integral dupla iterada
integral0^1 integral0^x(3 - x - y),dy,dx
Isso envolve o conteúdo de cálculo de integrais iteradas e devemos usar integração em etapas, primeiro em y e depois em x.

Passo 2

Para a parte interna, mantenho x fixo e calculo
integral0^x(3 - x - y),dy
Posso separar em duas integrais: integral0^x(3 - x),dy - integral0^xy,dy. A primeira dá (3 - x)y|0^x = (3 - x)x e a segunda dá y^2/2|0^x = x^2/2. Logo o resultado interno é
3x - x^2 - x^22 = 3x - 32x^2 .

Passo 3

Agora faço a integral externa
integral0^1l(3x - tfrac32x^2r),dx = 3integral0^1x,dx - tfrac32integral0^1x^2,dx
Como integral0^1x,dx = tfrac12 e integral0^1x^2,dx = tfrac13, temos
3cdottfrac12 - tfrac32cdottfrac13 = tfrac32 - tfrac12 = 1

Resposta

1

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