Faça uma substituição para expressar o integrando como uma função racional e então calcule a integral.
integral d xx raizx-2

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral integral dxxraizx-2 usando uma substituição que transforme o integrando em uma função racional. Isso envolve técnicas de integração por substituição e tratamento de radicais.

Passo 2

Vamos escolher a substituição que elimine a raiz raizx-2. Seja
t = raizx-2
Assim, x = t^2 + 2 e queremos reescrever também dx.

Passo 3

Derivando x = t^2 + 2 em relação a t, obtemos
dxdt = 2t
Logo,
dx = 2t,dt

Passo 4

Substituindo x = t^2+2, raizx-2=t e dx=2t,dt no integrando, temos
dxxraizx-2 = 2t,dt(t^2+2),t = 2,dtt^2+2
Agora o integrando é uma função racional de t.

Passo 5

Precisamos então calcular
integral 2,dtt^2+2
Reconhecemos a forma padrão integral dtt^2+a^2 = 1aarctanl(tfractar). Aqui a=raiz2, logo:
integral 2,dtt^2+2 = 2cdot 1raiz2arctanl(traiz2r) + C = raiz2,arctanl(traiz2r) + C

Passo 6

Por fim, voltamos à variável original: t=raizx-2. Portanto a integral em termos de x é
raiz2,arctan!iggl(raizx-2raiz2gr) + C 

Resposta

raiz2,arctan!l(tfracraizx-2raiz2r) + C

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