Faça uma substituição para expressar o integrando como uma função racional e então calcule a integral.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral
usando uma substituição que transforme o integrando em uma função racional. Isso envolve técnicas de integração por substituição e tratamento de radicais.
Passo 2
Vamos escolher a substituição que elimine a raiz
. Seja
Assim,
e queremos reescrever também
.
Passo 3
Derivando
em relação a
, obtemos
Logo,
Passo 4
Substituindo
,
e
no integrando, temos
Agora o integrando é uma função racional de
.
Passo 5
Precisamos então calcular
Reconhecemos a forma padrão
. Aqui
, logo:
Passo 6
Por fim, voltamos à variável original:
. Portanto a integral em termos de
é