Nos Exercs. 1 a 5, obtenha os desenvolvimentos em séries de potências, conforme especificação em cada caso. Determine os respectivos discos de convergência e represente-os graficamente.
f(z)=i /(z+i) em potências de z-1.

Passo 1

Então, vamos lá! A questão pede para a gente desenvolver a função em uma série de potências centrada em . Isso significa que queremos expressar como uma soma de termos envolvendo potências de . Para isso, vamos usar conceitos de séries de potências e descobrir até onde essa série converge, ou seja, qual o “disc” onde a série é válida. Vamos precisar lembrar da fórmula da série geométrica e saber como ajustar a função para encaixar nessa fórmula.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função 11 - w = sumn=0^infty w^n de uma maneira que nos ajude a usar a série geométrica. Queremos que a função fique numa forma parecida com z + i = (z - 1) + (1 + i) , porque sabemos que essa expressão pode ser expandida como uma série geométrica:
f(z) = i(z - 1) + (1 + i)
Então, vamos manipular para encaixar nessa forma. Podemos fatorar o denominador:
Assim,

Passo 3

Agora, queremos que o denominador seja f(z) = i(1 + i) [1 + z - 11 + i] = i1 + i cdot 11 + z - 11 + i . Para isso, vamos fatorar o denominador:
Perceba que conseguimos expressar como um fator constante vezes , onde .

Passo 4

Agora, aplicamos a série geométrica:
11 - w = sumn=0^infty w^n
Substituindo f(z) = i1 + i sumn=0^infty ( -z - 11 + i )^n :
f(z) = i1 + i sumn=0^infty ( -11 + i )^n (z - 1)^n
Simplificando, obtemos a série de potências centrada em :

Passo 5

Vamos simplificar o coeficiente constante i1 + i = i(1 - i)(1 + i)(1 - i) = i - i^21 - i^2 = i + 11 + 1 = 1 + i2 . Multiplicando numerador e denominador por f(z) = 1 + i2 sumn=0^infty ( -11 + i )^n (z - 1)^n para racionalizar:
Então, a série fica:

Passo 6

Para encontrar o raio de convergência, usamos a fórmula do limite para séries geométricas. Sabemos que a série converge se | -z - 11 + i | < 1 implies |z - 1||1 + i| < 1 , onde |1 + i| = raiz1^2 + 1^2 = raiz2 . Então:
|z - 1| < raiz2
Calculando :
Portanto, a condição de convergência é:
Isso significa que o disco de convergência é o conjunto de pontos tais que a distância de até é menor que .

Resposta

A série de potências de f(z) = 1 + i2 sumn=0^infty ( -11 + i )^n (z - 1)^n em torno de é:
E o disco de convergência é .

Gráfico

O disco de convergência é um círculo no plano complexo centrado em com raio .
Disco de Convergência

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