Nos Exercs. 1 a 5, obtenha os desenvolvimentos em séries de potências, conforme especificação em cada caso. Determine os respectivos discos de convergência e represente-os graficamente. em potências de .
Passo 1
Então, vamos lá! A questão pede para a gente desenvolver a função em uma série de potências centrada em . Isso significa que queremos expressar como uma soma de termos envolvendo potências de . Para isso, vamos usar conceitos de séries de potências e descobrir até onde essa série converge, ou seja, qual o “disc” onde a série é válida. Vamos precisar lembrar da fórmula da série geométrica e saber como ajustar a função para encaixar nessa fórmula.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a função de uma maneira que nos ajude a usar a série geométrica. Queremos que a função fique numa forma parecida com , porque sabemos que essa expressão pode ser expandida como uma série geométrica:
Então, vamos manipular para encaixar nessa forma. Podemos fatorar o denominador:
Assim,
Passo 3
Agora, queremos que o denominador seja . Para isso, vamos fatorar o denominador:
Perceba que conseguimos expressar como um fator constante vezes , onde .
Passo 4
Agora, aplicamos a série geométrica:
Substituindo :
Simplificando, obtemos a série de potências centrada em :
Passo 5
Vamos simplificar o coeficiente constante . Multiplicando numerador e denominador por para racionalizar:
Então, a série fica:
Passo 6
Para encontrar o raio de convergência, usamos a fórmula do limite para séries geométricas. Sabemos que a série converge se , onde . Então:
Calculando :
Portanto, a condição de convergência é:
Isso significa que o disco de convergência é o conjunto de pontos tais que a distância de até é menor que .
Resposta
A série de potências de f(z) = 1 + i2 sumn=0^infty ( -11 + i )^n (z - 1)^n em torno de é:
E o disco de convergência é .
Gráfico
O disco de convergência é um círculo no plano complexo centrado em com raio .