Calcule as seguintes integrais definidas:
Passo 1
Então, a gente tem que calcular a integral definida de $ x e{x{2}} $ de 1 até 2. Isso está relacionado ao conteúdo de cálculo de integrais, especificamente usando o método de substituição. Vamos precisar identificar uma parte da expressão para substituir e simplificar a integral.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para a função dentro da integral: $ x e{x{2}} $. A gente percebe que o expoente de $ e $ é $ x^{2} $, e a derivada de $ x^{2} $ em relação a $ x $ é $ 2x $. Isso sugere que podemos usar uma substituição para simplificar a integral.
Passo 3
Vamos definir uma nova variável para facilitar a substituição. Vamos chamar $ u = x^{2} $. Agora, vamos calcular a derivada de $ u $ em relação a $ x $:
Queremos expressar $ x , dx $ em termos de $ du $. Da equação acima, temos:
Passo 4
Agora, vamos substituir $ u $ e $ x , dx $ na integral original:
Vamos calcular os novos limites de integração. Quando $ x = 1 $:
E quando $ x = 2 $:
Então, a integral fica:
Passo 5
Agora, vamos integrar $ e^{u} $ em relação a $ u $. A integral de $ e^{u} $ é simplesmente $ e^{u} $. Então:
Simplificando isso:
Resposta
O valor da integral definida é $ \frac{1}{2} \left( e^{4} - e \right) $.