Calcule as seguintes integrais definidas:
integral1^2 x e^x^2 d x

Passo 1

Então, a gente tem que calcular a integral definida de $ x e{x{2}} $ de 1 até 2. Isso está relacionado ao conteúdo de cálculo de integrais, especificamente usando o método de substituição. Vamos precisar identificar uma parte da expressão para substituir e simplificar a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a função dentro da integral: $ x e{x{2}} $. A gente percebe que o expoente de $ e $ é $ x^{2} $, e a derivada de $ x^{2} $ em relação a $ x $ é $ 2x $. Isso sugere que podemos usar uma substituição para simplificar a integral.

Passo 3

Vamos definir uma nova variável para facilitar a substituição. Vamos chamar $ u = x^{2} $. Agora, vamos calcular a derivada de $ u $ em relação a $ x $:
u = x^2
Queremos expressar $ x , dx $ em termos de $ du $. Da equação acima, temos:
u

Passo 4

Agora, vamos substituir $ u $ e $ x , dx $ na integral original:
u
Vamos calcular os novos limites de integração. Quando $ x = 1 $:
x , dx
E quando $ x = 2 $:
integral1^2 x e^x^2 , dx = integralu(1)^u(2) e^u cdot du2
Então, a integral fica:
x = 1

Passo 5

Agora, vamos integrar $ e^{u} $ em relação a $ u $. A integral de $ e^{u} $ é simplesmente $ e^{u} $. Então:
e^u
Simplificando isso:
u

Resposta

O valor da integral definida é $ \frac{1}{2} \left( e^{4} - e \right) $.

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