Calcule as seguintes integrais definidas: integral1^2 x1+x^4 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida integral1^2 x1+x^4,dx. O conteúdo envolvido é integração por substituição em integrais racionais e vamos usar uma troca de variável que simplifica o denominador.

Passo 2

Vamos fazer a substituição t = x^2. Então dt = 2x,dx, ou seja, x,dx = tfrac12,dt. Quando x=1, temos t=1, e quando x=2, temos t=4.

Passo 3

Substituindo na integral, obtemos:
integral1^2 x1+x^4,dx = integralx=1^x=2 x,dx1+(x^2)^2 = 12integralt=1^t=4 dt1+t^2 = 12l[arctan(t)r]1^4

Passo 4

Agora avaliamos nos limites: substituindo t=4 e t=1 na função arctan(t), temos
12l(arctan(4)-arctan(1)r) = 12l(arctan(4)-tfracpi4r)

Resposta

12l(arctan(4)-tfracpi4r)

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