Calcule as seguintes integrais definidas: integral1^2 xx^2-6 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral definida: integral1^2 xx^2-6 , dx. A gente vai trabalhar com cálculo integral, especificamente usando substituição para simplificar a expressão. Vamos precisar entender como fazer essa substituição e aplicar as regras básicas de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Vamos definir:
u = x^2 - 6
Isso porque o denominador da fração fica bem mais simples com essa substituição. Agora, vamos encontrar a derivada de u em relação a x:
dudx = 2x
Ou seja:
du = 2x , dx
Isso significa que:
x , dx = du2

Passo 3

Agora, substituímos u e du na integral original:
integral1^2 xx^2-6 , dx = integral 1u cdot du2 = 12 integral 1u , du
A gente sabe que a integral de 1u em relação a u é o logaritmo natural:
12 integral 1u , du = 12 ln|u| + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 4

Vamos agora voltar à variável original x:
12 ln|u| + C = 12 ln|x^2 - 6| + C
Como estamos lidando com uma integral definida, a constante C não é necessária.

Passo 5

Por fim, vamos avaliar a integral de x = 1 a x = 2:
12 ln|x^2 - 6| |1^2 = 12 ( ln|2^2 - 6| - ln|1^2 - 6| )
Calculando os valores:
2^2 - 6 = 4 - 6 = -2
1^2 - 6 = 1 - 6 = -5
Como estamos no logaritmo natural de valores absolutos:
12 ( ln2 - ln5 )

Resposta

A integral definida é 12 ( ln2 - ln5 ).

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