Calcule as seguintes integrais definidas: integral3^4 1(x-1) raiz(x-1)^2-4 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
integral3^4 1(x-1)raiz(x-1)^2-4,dx
O conteúdo principal é integração por substituição trigonométrica, já que temos raiz(x-1)^2-2^2. Vamos usar uma mudança de variável para simplificar a expressão.

Passo 2

Primeiro, fazemos a troca t = x-1. Assim, quando x=3 temos t=2, e quando x=4 temos t=3. Além disso
dt = dx
Então a integral fica
integral2^3 1traizt^2-4,dt

Passo 3

Agora reconhecemos a forma integral dttraizt^2-a^2. A técnica padrão é usar a substituição trigonométrica
t = asectheta, a=2
Logo:
dt = 2secthetatantheta,dtheta,
e
raizt^2-4 = raiz4sec^2theta -4 = 2tantheta

Passo 4

Substituindo na integral em t:
integral dttraizt^2-4 = integral 2secthetatantheta,dtheta(2sectheta)(2tantheta) = integral 12,dtheta = theta2 + C
Agora voltamos para t: como t=2sectheta, temos sectheta = t/2 e

Passo 5

Voltando aos limites: para t=2, . Para arcsec(2/2)=arcsec(1)=0, . Então

Passo 6

Podemos ainda usar a relação . Assim
e a resposta final fica

Passo 7

Resposta

12arccosl(tfrac23r)

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