Calcule as seguintes integrais definidas:
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para calcular a integral definida de $ \cos(x) $ de $ \pi $ a $ 2\pi $. Estamos trabalhando com cálculo integral, especificamente com integrais de funções trigonométricas. Para resolver isso, vamos precisar entender como integrar a função cosseno e aplicar o teorema fundamental do cálculo.
Passo 2
Primeiro, precisamos lembrar que a integral definida de uma função $ f(x) $ de $ a $ a $ b $ é calculada usando uma antiderivada $ F(x) $ de $ f(x) $. A fórmula é:
Isso significa que encontramos uma função $ F(x) $ que, ao derivarmos, nos dá $ f(x) $.
Passo 3
No nosso caso, a função $ f(x) $ é $ \cos(x) $. Sabemos que a antiderivada de $ \cos(x) $ é $ \sin(x) $, porque:
Então, podemos escolher $ F(x) = \sin(x) $.
Passo 4
Agora, aplicamos o teorema fundamental do cálculo substituindo os limites de integração na antiderivada:
Passo 5
Em seguida, calculamos os valores de $ \sin(2\pi) $ e $ \sin(\pi) $. Sabemos que:
Passo 6
Substituindo esses valores na expressão:
Resposta
O valor da integral definida $ \int_{\pi}^{2\pi} \cos(x) , dx $ é igual a $ 0 $.