A tabela abaixo apresenta valores para
e
.
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1 | 3 | 2 | 4 | 6 |
2 | 1 | 8 | 5 | 7 |
3 | 7 | 2 | 7 | 9 |
Se
e
, calcule
e
.
Passo 1
O enunciado dá uma tabela com valores de f, g e suas derivadas e pede para calcular as derivadas de composições: h(x)=f(g(x)), H(x)=g(f(x)), F(x)=f(f(x)) e G(x)=g(g(x)). O conteúdo necessário é a regra da cadeia: a derivada de uma composição u(v(x)) é u’(v(x))·v’(x).
Passo 2
Para h(x)=f(g(x)), aplicamos regra da cadeia: h’(x)=f’(g(x))·g’(x). Como g(1)=2, f’(2)=5 e g’(1)=6, temos h’(1)=5·6=30.
Passo 3
Para H(x)=g(f(x)), aplicamos regra da cadeia: H’(x)=g’(f(x))·f’(x). Como f(1)=3, g’(3)=9 e f’(1)=4, temos H’(1)=9·4=36.
Passo 4
Para F(x)=f(f(x)), aplicamos regra da cadeia: F’(x)=f’(f(x))·f’(x). Como f(2)=1, f’(1)=4 e f’(2)=5, temos F’(2)=4·5=20.
Passo 5
Para G(x)=g(g(x)), aplicamos regra da cadeia: G’(x)=g’(g(x))·g’(x). Como g(3)=2, g’(2)=7 e g’(3)=9, temos G’(3)=7·9=63.
Resposta
h’(1)=30, H’(1)=36, F’(2)=20, G’(3)=63