A tabela abaixo apresenta valores para f, g, f^prime e g^prime.
x f(x) g(x) f^prime(x) g^prime(x)
1 3 2 4 6
2 1 8 5 7
3 7 2 7 9
Se h(x)=f(g(x)), H(x)=g(f(x)), F(x)=f(f(x)) e G(x)=g(g(x)), calcule h^prime(1), H^prime(1), F^prime(2) e G^prime(3).

Passo 1

O enunciado dá uma tabela com valores de f, g e suas derivadas e pede para calcular as derivadas de composições: h(x)=f(g(x)), H(x)=g(f(x)), F(x)=f(f(x)) e G(x)=g(g(x)). O conteúdo necessário é a regra da cadeia: a derivada de uma composição u(v(x)) é u’(v(x))·v’(x).

Passo 2

Para h(x)=f(g(x)), aplicamos regra da cadeia: h’(x)=f’(g(x))·g’(x). Como g(1)=2, f’(2)=5 e g’(1)=6, temos h’(1)=5·6=30.

Passo 3

Para H(x)=g(f(x)), aplicamos regra da cadeia: H’(x)=g’(f(x))·f’(x). Como f(1)=3, g’(3)=9 e f’(1)=4, temos H’(1)=9·4=36.

Passo 4

Para F(x)=f(f(x)), aplicamos regra da cadeia: F’(x)=f’(f(x))·f’(x). Como f(2)=1, f’(1)=4 e f’(2)=5, temos F’(2)=4·5=20.

Passo 5

Para G(x)=g(g(x)), aplicamos regra da cadeia: G’(x)=g’(g(x))·g’(x). Como g(3)=2, g’(2)=7 e g’(3)=9, temos G’(3)=7·9=63.

Resposta

h’(1)=30, H’(1)=36, F’(2)=20, G’(3)=63

Exercícios relacionados