Calcule as seguintes integrais definidas:
(j1) integral0^2 ln ^2 xx^3 d x

Passo 1

Nesse exercício vamos calcular a integral imprópria integral0^2 ln^2 xx^3,dx. O conteúdo aqui é de integrais impróprias e integração por partes: precisaremos encontrar uma antiderivada para x^-3ln^2x e depois estudar o limite quando xto0^+, já que ali pode explorar a divergência.

Passo 2

Para achar a antiderivada de x^-3ln^2x, aplicamos integração por partes uma primeira vez. Escolhemos
nu=ln^2x, dv=x^-3dx,
logo
du=2ln xxdx, v=integral x^-3dx=-12x^2
Assim
integral x^-3ln^2x,dx = uv - integral v,du = -ln^2x2x^2 + integral x^-3ln x,dx

Passo 3

Agora calculamos integral x^-3ln x,dx com outra integração por partes, escolhendo
nu=ln x, dv=x^-3dx
que dá
du=1xdx, v=-12x^2
Logo
integral x^-3ln x,dx = uv - integral v,du = -ln x2x^2 - integrall(-12x^2r)1xdx = -ln x2x^2 - 14x^2
Substituindo de volta, a antiderivada geral fica
F(x)=integral x^-3ln^2x,dx = -ln^2x2x^2 - ln x2x^2 - 14x^2 = -ln^2x + ln x + 1/22x^2 + C

Passo 4

Para avaliar integral0^2 ln^2xx^3dx fazemos a integral imprópria
limvarepsilonto0^+l[F(2)-F(varepsilon)r]
Em x=2 o valor de F(2) é finito, mas em x=varepsilon o termo
-ln^2varepsilon + lnvarepsilon +1/22varepsilon^2
explode para +infty (pois ln^2varepsilon cresce menos que 1/varepsilon^2 decresce). Portanto o limite não existe em valor finito.
Como o limite do segundo termo vai a +infty, concluímos que a integral imprópria diverge.

Resposta

A integral diverge, ou seja, não converge a um valor finito.

Exercícios relacionados