(k1) integral0^2 ln (x+2)x+2 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular integral0^2dfracln(x+2)x+2,dx. É um problema de integração que usa substituição para simplificar a expressão e depois aplicar a primitiva de ln t/t.

Passo 2

Fazendo a substituição t = x + 2, temos dt = dx. Quando x=0, t=2 e quando x=2, t=4. Logo o integral vira
integral0^2ln(x+2)x+2,dx = integral2^4ln tt,dt

Passo 3

Sabendo que a primitiva de ln t / t é
integral ln tt,dt = 12l(ln tr)^2 + C,
aplicamos esse resultado no integral definido.

Passo 4

Calculando o valor nas bordas, obtemos
12l(ln tr)^2|2^4 = 12l(ln 4r)^2 - 12l(ln 2r)^2

Passo 5

Como ln 4 = 2ln 2, temos
12l(2ln 2r)^2 - 12l(ln 2r)^2 = 12(4ln^22) - 12ln^22 = 32ln^22

Resposta

tfrac32ln^22

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