Cálculo III
1 Prova - 13/11/2024 - Turma A2
Nome: Kaciane Matos Rocha
Instruções: Faça cada questão no espaço a ela reservado. Escreva a resposta de cada questão no quadro correspondente. Não serão aceitas respostas sem justificativa.
Considere a seguinte integral iterada:
integral0^1 integraly^1 1(1+x^2)^3 d x d y
(b) Inverta a ordem de integraçãole calcule a integral.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. Temos uma integral dupla definida por
integral0^1 integraly^1 1(1+x^2)^3 , dx , dy
O objetivo aqui é inverter a ordem de integração e calcular o valor dessa integral. Isso envolve entender como os limites de integração funcionam e aplicar técnicas de cálculo integral que você já deve ter visto, como substituição.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região de integração para entender melhor como inverter a ordem. Originalmente, a variável $ y $ varia de 0 a 1, e para cada valor de $ y $, a variável $ x $ varia de $ y $ a 1. Isso significa que estamos integrando sobre a área onde $ 0 \leq y \leq 1 $ e $ y \leq x \leq 1 $.

Passo 3

Para inverter a ordem de integração, precisamos expressar a região de outra maneira: agora, vamos deixar $ x $ ser a primeira variável a ser integrada. Observando a região, para cada $ x $ entre 0 e 1, $ y $ varia de 0 até $ x $. Então, a integral com ordem invertida fica:
x

Passo 4

Agora, vamos resolver a integral interna em relação a $ y $. Note que a função que estamos integrando, $ \frac{1}{\left(1+x{2}\right){3}} $, não depende de $ y $. Isso facilita a integração:
y
Então, a integral dupla agora reduz a:
1(1+x^2)^3

Passo 5

Vamos resolver agora a integral restante em relação a $ x $. Para isso, podemos usar uma substituição simples. Seja $ u = 1 + x^{2} $, então $ du = 2x , dx $ ou $ \frac{du}{2} = x , dx $.
Substituindo na integral, temos:
x

Passo 6

Agora, vamos calcular a integral de $ u^{-3} $:
u^-3
Simplificando dentro dos parênteses:
12 integral1^2 u^-3 , du = 12 [ -12u^2 ]1^2 = 12 ( -18 - ( -12 ) ) = 12 ( -18 + 12 )
Multiplicando por $ \frac{1}{2} $:
-18 + 48 = 38

Resposta

O valor da integral é dfrac332.

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