Cálculo III
1 Prova - 13/11/2024 - Turma A2
Nome: Kaciane Matos Rocha
Instruções: Faça cada questão no espaço a ela reservado. Escreva a resposta de cada questão no quadro correspondente. Não serão aceitas respostas sem justificativa.
Considere a seguinte integral iterada:
(b) Inverta a ordem de integraçãole calcule a integral.
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. Temos uma integral dupla definida por
O objetivo aqui é inverter a ordem de integração e calcular o valor dessa integral. Isso envolve entender como os limites de integração funcionam e aplicar técnicas de cálculo integral que você já deve ter visto, como substituição.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a região de integração para entender melhor como inverter a ordem. Originalmente, a variável $ y $ varia de 0 a 1, e para cada valor de $ y $, a variável $ x $ varia de $ y $ a 1. Isso significa que estamos integrando sobre a área onde $ 0 \leq y \leq 1 $ e $ y \leq x \leq 1 $.
Passo 3
Para inverter a ordem de integração, precisamos expressar a região de outra maneira: agora, vamos deixar $ x $ ser a primeira variável a ser integrada. Observando a região, para cada $ x $ entre 0 e 1, $ y $ varia de 0 até $ x $. Então, a integral com ordem invertida fica:
Passo 4
Agora, vamos resolver a integral interna em relação a $ y $. Note que a função que estamos integrando, $ \frac{1}{\left(1+x{2}\right){3}} $, não depende de $ y $. Isso facilita a integração:
Então, a integral dupla agora reduz a:
1(1+x^2)^3
Passo 5
Vamos resolver agora a integral restante em relação a $ x $. Para isso, podemos usar uma substituição simples. Seja $ u = 1 + x^{2} $, então $ du = 2x , dx $ ou $ \frac{du}{2} = x , dx $.