O enunciado pede para achar a matriz fundamental Φ(t) do sistema x'=Ax com A=1&0&38&1&-15&1&-1 e em seguida encontrar a solução que satisfaz x(0)=0-2-7. Vamos usar o método de autovalores e autovetores para diagonalizar.
Passo 2
Primeiro, calculamos o polinômio característico de A:
det(A-lambda I)= -lambda^3+lambda^2+15lambda+9=0,
o que fatora como
(lambda+3)(lambda^2-4lambda-3)=0
Assim as raízes são lambda1=-3 e lambda2,3=2pmraiz7.
Passo 3
Agora achamos um autovetor para cada autovalor:
Para lambda1=-3, resolvendo (A+3I)v=0 obtemos o vetor
v1=-374
Para lambda2=2+raiz7, escolhemos x=3 e achamos
v2=34raiz7-51+raiz7
Para lambda3=2-raiz7, de modo análogo,
v3=3-(5+4raiz7)1-raiz7
Passo 4
Com esses autovetores, a matriz fundamental fica (as colunas são vi e^lambdai t):