Encontre a matriz fundamental de cada um dos sistemas x^prime=A x tendo como matriz de coeficientes cada uma das matrizes abaixo. Também encontre a solução particular satisfazendo a condição inicial.
© A=(ccc1 & 0 & 3 8 & 1 & -1 5 & 1 & -1) ; x0=(c0 -2 -7)

Passo 1

O enunciado pede para achar a matriz fundamental Φ(t) do sistema x'=Ax com A=1&0&38&1&-15&1&-1 e em seguida encontrar a solução que satisfaz x(0)=0-2-7. Vamos usar o método de autovalores e autovetores para diagonalizar.

Passo 2

Primeiro, calculamos o polinômio característico de A:
det(A-lambda I)= -lambda^3+lambda^2+15lambda+9=0,
o que fatora como
(lambda+3)(lambda^2-4lambda-3)=0
Assim as raízes são lambda1=-3 e lambda2,3=2pmraiz7.

Passo 3

Agora achamos um autovetor para cada autovalor:
Para lambda1=-3, resolvendo (A+3I)v=0 obtemos o vetor
v1=-374
Para lambda2=2+raiz7, escolhemos x=3 e achamos
v2=34raiz7-51+raiz7
Para lambda3=2-raiz7, de modo análogo,
v3=3-(5+4raiz7)1-raiz7

Passo 4

Com esses autovetores, a matriz fundamental fica (as colunas são vi e^lambdai t):
Phi(t)=-3e^-3t&3e^(2+raiz7)t&3e^(2-raiz7)t7e^-3t&(4raiz7-5)e^(2+raiz7)t&-(5+4raiz7)e^(2-raiz7)t4e^-3t&(1+raiz7)e^(2+raiz7)t&(1-raiz7)e^(2-raiz7)t

Passo 5

A solução geral é
x(t)=C1v1e^-3t+C2v2e^(2+raiz7)t+C3v3e^(2-raiz7)t
Impondo x(0)=C1v1+C2v2+C3v3=0-2-7 gera um sistema para C1,C2,C3.

Passo 6

Resolvendo esse sistema encontramos
C1=-139, C2=19raiz7-1318, C3=-19raiz7-1318

Passo 7

Portanto, a solução particular com a condição inicial é
x(t)=-139v1e^-3t+l(19raiz7-1318r)v2e^(2+raiz7)t+l(-19raiz7-1318r)v3e^(2-raiz7)t

Resposta

Matriz fundamental
Phi(t)=-3e^-3t&3e^(2+raiz7)t&3e^(2-raiz7)t7e^-3t&(4raiz7-5)e^(2+raiz7)t&-(5+4raiz7)e^(2-raiz7)t4e^-3t&(1+raiz7)e^(2+raiz7)t&(1-raiz7)e^(2-raiz7)t
Solução com x(0)=(0,-2,-7)^T
x(t)=-139v1e^-3t+l(19raiz7-1318r)v2e^(2+raiz7)t+l(-19raiz7-1318r)v3e^(2-raiz7)t,
onde
v1=(-3,7,4)^T, v2=(3,4raiz7-5,1+raiz7)^T, v3=(3,-(5+4raiz7),1-raiz7)^T

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