Calcule as seguintes integrais definidas:
(n1) integral0^pi / 2 x^2 cos x d x

Passo 1

Resumo do enunciado: a gente precisa calcular a integral definida
integral0^pi/2 x^2cos x,dx
Isso cai em integração por partes, um dos métodos do cálculo integral onde escolhemos u e dv.

Passo 2

Para aplicar integração por partes usamos a fórmula
integral u,dv = u,v - integral v,du
Escolhemos na primeira vez:
u = x^2, dv = cos x,dx,
logo
du = 2x,dx, v = sin x

Passo 3

Aplicando essa escolha:
integral x^2cos x,dx = x^2sin x - integral 2xsin x,dx
Agora virou calcular integral 2xsin x,dx.

Passo 4

Para integral 2xsin x,dx repetimos integração por partes. Seja:
u = 2x, dv = sin x,dx,
então
du = 2,dx, v = -cos x
Logo
integral 2xsin x,dx = 2x(-cos x) - integral (-cos x)cdot 2,dx = -2xcos x + 2integral cos x,dx = -2xcos x + 2sin x

Passo 5

Substituindo de volta na antiderivada geral, obtemos a primitiva:
F(x) = x^2sin x - l(-2xcos x + 2sin xr) = x^2sin x + 2xcos x - 2sin x

Passo 6

Agora é só avaliar nos limites 0 e pi/2:
Fl(tfracpi2r)=l(tfracpi2r)^2cdot1 + 2cdottfracpi2cdot0 -2cdot1=pi^24-2,
F(0)=0^2cdot0 +2cdot0cdot1 -2cdot0=0
A diferença F(pi/2)-F(0) é então pi^24-2.

Resposta

pi^24-2

Exercícios relacionados