Seja
uma função analítica numa região simplesmente conexa
, e seja
um contorno fechado simples contido em
. Prove que, para
interior a
,
Prove, mais geralmente, que
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, para uma função analítica f em uma região simplesmente conexa R e um contorno fechado simples C em R, valem as igualdades das integrais de f′ e de f, e depois estender isso ao caso geral das derivadas de ordem n. Para isso vamos usar a fórmula integral de Cauchy e sua versão para derivadas.
Passo 2
Como f é analítica em R, sua derivada f′ também é analítica em R. Logo podemos aplicar a fórmula integral de Cauchy à função f′ no ponto z, obtendo:
Passo 3
Como f é analítica em R, também podemos usar a fórmula de Cauchy para derivadas na função f. Para n=1 temos:
Passo 4
Comparando as duas expressões para f’(z) e multiplicando ambos os lados por 2πi, concluímos que
Passo 5
Para o caso geral, note que a fórmula integral de Cauchy dá para todo n≥0:
Passo 6
e também, como f^{(n)} é analítica, temos
Passo 7
Multiplicando por 2πi, obtemos a igualdade desejada no caso geral:
Resposta
Para z interior a C, tem-se
e, de modo geral,