Seja f uma função analítica numa região simplesmente conexa R, e seja C um contorno fechado simples contido em R. Prove que, para z interior a C,
ointC f^prime(zeta)zeta-z d zeta=ointC f(zeta)(zeta-z)^2 d zeta
Prove, mais geralmente, que
ointC f^(n)(zeta)zeta-z d zeta=n!ointC f(zeta)(zeta-z)^n+1 d zeta

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para uma função analítica f em uma região simplesmente conexa R e um contorno fechado simples C em R, valem as igualdades das integrais de f′ e de f, e depois estender isso ao caso geral das derivadas de ordem n. Para isso vamos usar a fórmula integral de Cauchy e sua versão para derivadas.

Passo 2

Como f é analítica em R, sua derivada f′ também é analítica em R. Logo podemos aplicar a fórmula integral de Cauchy à função f′ no ponto z, obtendo:
f'(z)=12pi iointCf'(zeta)zeta-z,dzeta

Passo 3

Como f é analítica em R, também podemos usar a fórmula de Cauchy para derivadas na função f. Para n=1 temos:
f'(z)=12pi iointCf(zeta)(zeta-z)^2,dzeta

Passo 4

Comparando as duas expressões para f’(z) e multiplicando ambos os lados por 2πi, concluímos que
ointCf'(zeta)zeta-z,dzeta=ointCf(zeta)(zeta-z)^2,dzeta

Passo 5

Para o caso geral, note que a fórmula integral de Cauchy dá para todo n≥0:
f^(n)(z)=n!2pi iointCf(zeta)(zeta-z)^n+1,dzeta

Passo 6

e também, como f^{(n)} é analítica, temos
f^(n)(z)=12pi iointCf^(n)(zeta)zeta-z,dzeta

Passo 7

Multiplicando por 2πi, obtemos a igualdade desejada no caso geral:
ointCf^(n)(zeta)zeta-z,dzeta=n!ointCf(zeta)(zeta-z)^n+1,dzeta

Resposta

Para z interior a C, tem-se
ointCf'(zeta)zeta-z,dzeta=ointCf(zeta)(zeta-z)^2,dzeta
e, de modo geral,
ointCf^(n)(zeta)zeta-z,dzeta=n!ointCf(zeta)(zeta-z)^n+1,dzeta

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