Calcule as seguintes integrais definidas:
(q) integral0^1+t^2 x^2(x^3-2) dx

Passo 1

A integral dada é integral0^1+t^2 x^2x^3-2,dx. O conteúdo aqui é reconhecimento de que o denominador x^3-2 tem derivada 3x^2, então vamos usar substituição para integrar uma função da forma f'(x)f(x).

Passo 2

Fazendo a substituição u = x^3-2. Então temos du = 3x^2,dx, isto é, x^2,dx = 13,du. A integral se transforma em
integral x^2x^3-2,dx = integral 1u cdot 13,du = 13 integral 1u,du = 13 lnl|ur| + C
Voltando para a variável x, a primitiva é F(x)=tfrac13lnl|x^3-2r|. Agora aplicamos os limites de 0 a 1+t^2:
integral0^1+t^2 x^2x^3-2,dx = F(1+t^2) - F(0) = 13lnl|(1+t^2)^3-2r| - 13lnl|0^3-2r|
Como |0^3-2|=2, podemos escrever
13lnl|(1+t^2)^3-2r| - 13ln 2 = 13ln!l(l|(1+t^2)^3-2r|2r)

Resposta

13ln!l(l|(1+t^2)^3-2r|2r)

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