Utilize os testes de convergência para determinar se as séries são convergentes ou divergentes.
sumn=1^infty 12^n+sen(n)

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma série infinita:
sumn=1^infty 12^n+sen(n)
O conteúdo que vamos usar aqui é o teste de convergência de séries, especificamente o teste da comparação. Precisamos verificar se essa série converge (chega a um valor finito) ou diverge (não tem um valor finito).

Passo 2

Primeiro, vamos analisar os termos da série. Sabemos que o seno de qualquer número está sempre entre -1 e 1, ou seja:
-1 <= sen(n) <= 1
Isso significa que, adicionando sen(n) a 2^n, temos:
2^n - 1 <= 2^n + sen(n) <= 2^n + 1

Passo 3

Agora, vamos olhar para os termos da série original:
12^n + sen(n)
Com base na desigualdade que encontramos, podemos dizer:
12^n + 1 <= 12^n + sen(n) <= 12^n - 1
Isso nos ajuda a comparar nossa série com uma série mais simples.

Passo 4

Vamos comparar com a série geométrica:
sumn=1^infty 12^n
Sabemos que uma série geométrica da forma sumn=1^infty ar^n converge se |r| < 1. No nosso caso, r = 12, que é menor que 1, então a série converge.

Passo 5

Usando o Teste da Comparação, se compararmos:
0 <= 12^n + sen(n) <= 12^n - 1
E sabemos que sum 12^n converge, então, pela comparação, nossa série original também converge.

Resposta

A série sumn=1^infty 12^n+sen(n) converge.

Exercícios relacionados