Utilize os testes de convergência para determinar se as séries são convergentes ou divergentes.
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma série infinita:
O conteúdo que vamos usar aqui é o teste de convergência de séries, especificamente o teste da comparação. Precisamos verificar se essa série converge (chega a um valor finito) ou diverge (não tem um valor finito).
Passo 2
Primeiro, vamos analisar os termos da série. Sabemos que o seno de qualquer número está sempre entre -1 e 1, ou seja:
Isso significa que, adicionando
a
, temos:
Passo 3
Agora, vamos olhar para os termos da série original:
Com base na desigualdade que encontramos, podemos dizer:
Isso nos ajuda a comparar nossa série com uma série mais simples.
Passo 4
Vamos comparar com a série geométrica:
Sabemos que uma série geométrica da forma
converge se
. No nosso caso,
, que é menor que 1, então a série converge.
Passo 5
Usando o Teste da Comparação, se compararmos:
E sabemos que
converge, então, pela comparação, nossa série original também converge.
Resposta
A série
converge.