Calcule as seguintes integrais definidas usando somas de Riemann: integral0^1 x^2+2 x-3 d x

Passo 1

O exercício pede para calcular a integral definida de f(x)=x^2+2x-3 no intervalo [0,1] usando somas de Riemann. O conteúdo aqui é definição de integral definida via soma de Riemann: vamos precisar particionar o intervalo, escolher pontos de amostragem, escrever o somatório e usar fórmulas de somatórios clássicos antes de tirar o limite.

Passo 2

Dividimos o intervalo [0,1] em n subintervalos de mesmo tamanho De. Escolhemos o ponto de amostragem como o extremo direito de cada subintervalo, isto é, xi=in para i=1,2,dots,n.

Passo 3

A soma de Riemann aproximada é
Sn=sumi=1^n f(xi),De

Passo 4

Separamos o somatório em três partes:
Sn=1nsumi=1^ni^2n^2+2nsumi=1^nin-3nsumi=1^n1

Passo 5

Agora usamos as fórmulas de somatório:
sumi=1^n i=n(n+1)2, sumi=1^n i^2=n(n+1)(2n+1)6, sumi=1^n1=n

Passo 6

Substituindo e simplificando Sn:
Sn=1n^3cdotn(n+1)(2n+1)6+2n^2cdotn(n+1)2-3nn
Que leva a
$$
S_n=\frac{2n2+3n+1}{6n2}+\frac{n+1}{n}-3
=\Bigl(\tfrac13+\tfrac1{2n}+\tfrac1{6n^2}\Bigr)+\Bigl(1+\tfrac1n\Bigr)-3
= -\tfrac{5}{3}+\tfrac{3}{2n}+\tfrac{1}{6n^2}
$$

Passo 7

Por fim, tomamos o limite quando ntoinfty: os termos tfrac32n e tfrac16n^2 vão a zero. Logo
integral0^1(x^2+2x-3),dx=limntoinftySn=-tfrac53

Resposta

-5/3

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