Calcule as seguintes integrais definidas usando somas de Riemann:
Passo 1
O exercício pede para calcular a integral definida de
no intervalo
usando somas de Riemann. O conteúdo aqui é definição de integral definida via soma de Riemann: vamos precisar particionar o intervalo, escolher pontos de amostragem, escrever o somatório e usar fórmulas de somatórios clássicos antes de tirar o limite.
Passo 2
Dividimos o intervalo
em
subintervalos de mesmo tamanho
. Escolhemos o ponto de amostragem como o extremo direito de cada subintervalo, isto é,
para
.
Passo 3
A soma de Riemann aproximada é
Passo 4
Separamos o somatório em três partes:
Passo 5
Agora usamos as fórmulas de somatório:
Passo 6
Substituindo e simplificando
:
Que leva a
$$
S_n=\frac{2n2+3n+1}{6n2}+\frac{n+1}{n}-3
=\Bigl(\tfrac13+\tfrac1{2n}+\tfrac1{6n^2}\Bigr)+\Bigl(1+\tfrac1n\Bigr)-3
S_n=\frac{2n2+3n+1}{6n2}+\frac{n+1}{n}-3
=\Bigl(\tfrac13+\tfrac1{2n}+\tfrac1{6n^2}\Bigr)+\Bigl(1+\tfrac1n\Bigr)-3
= -\tfrac{5}{3}+\tfrac{3}{2n}+\tfrac{1}{6n^2}
$$
Passo 7
Por fim, tomamos o limite quando
: os termos
e
vão a zero. Logo
Resposta
-5/3