Calcule: sumk=1^n(k-2)(k-3)

Passo 1

O enunciado pede pra calcular a soma sumk=1^n(k-2)(k-3). O conteúdo envolvido é soma de progressões e somatório de polinômios, e vamos precisar das fórmulas para sumk=1^nk e sumk=1^nk^2.

Passo 2

Primeiro, expandimos o termo dentro da soma:
(k-2)(k-3)=k^2-3k-2k+6=k^2-5k+6
Isso permite quebrar o somatório em partes:
sumk=1^n(k-2)(k-3)=sumk=1^nk^2-5sumk=1^nk+6sumk=1^n1

Passo 3

Agora usamos as fórmulas conhecidas:
sumk=1^nk^2=n(n+1)(2n+1)6,
sumk=1^nk=n(n+1)2,
sumk=1^n1=n
Substituindo no somatório dado:
sumk=1^n(k-2)(k-3)=n(n+1)(2n+1)6-5cdotn(n+1)2+6n

Passo 4

Para somar tudo com denominador comum 6, escrevemos:
sumk=1^n(k-2)(k-3)=n(n+1)(2n+1)-15n(n+1)+36n6

Passo 5

Agora simplificamos o numerador:
n(n+1)(2n+1)-15n(n+1)+36n =nl((n+1)(2n+1)-15(n+1)+36r)
=(n)[2n^2+3n+1-15n-15+36] = n(2n^2-12n+22)
Logo
sumk=1^n(k-2)(k-3)=n(2n^2-12n+22)6

Passo 6

E por fim fatoramos 2 e dividimos pelo 6:
n(2n^2-12n+22)6=2l(n^3-6n^2+11nr)6=n^3-6n^2+11n3

Resposta

sumk=1^n(k-2)(k-3)=n^3-6n^2+11n3

Exercícios relacionados