Se
, encontre a soma de Riemann de
para a partição regular
,
de
Quando
.
Passo 1
Vamos resolver um exercício de soma de Riemann para a função $ f(x) = x^{3} $ no intervalo
. Para isso, vamos usar uma partição regular com os pontos $ x_{0}=1, x_{1}=2, x_{2}=3, x_{3}=4, x_{4}=5 $. Precisamos calcular a soma de Riemann quando os pontos de amostragem $ x_{i}^{*} $ são iguais aos pontos da partição $ x_{i} $. Vamos precisar entender o que é uma soma de Riemann e como aplicá-la passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma soma de Riemann. É uma forma de aproximar a área sob a curva de uma função. Dividimos o intervalo em subintervalos, calculamos o valor da função em pontos específicos desses subintervalos e multiplicamos pelo tamanho do subintervalo. A soma de todos esses produtos nos dá a soma de Riemann.
Passo 3
No nosso caso, o intervalo
foi dividido em 4 subintervalos iguais:
,
,
e
. Cada subintervalo tem tamanho
.
Passo 4
Os pontos de amostragem são $ x_{i}^{*} = x_{i} $. Portanto, vamos calcular o valor da função $ f(x) = x^{3} $ nesses pontos:
- Para $ x_{0}^{*} = 1 $: $ f(1) = 1^{3} = 1 $
- Para $ x_{1}^{*} = 2 $: $ f(2) = 2^{3} = 8 $
- Para $ x_{2}^{*} = 3 $: $ f(3) = 3^{3} = 27 $
- Para $ x_{3}^{*} = 4 $: $ f(4) = 4^{3} = 64 $
Passo 5
Agora, multiplicamos cada valor da função pelo tamanho do subintervalo
:
- $ f(1) \times 1 = 1 \times 1 = 1 $
- $ f(2) \times 1 = 8 \times 1 = 8 $
- $ f(3) \times 1 = 27 \times 1 = 27 $
- $ f(4) \times 1 = 64 \times 1 = 64 $
Passo 6
Por fim, somamos todos esses produtos para obter a soma de Riemann:
Resposta
A soma de Riemann para a função $ f(x) = x^{3} $ no intervalo
com a partição dada é $ 100 $.