Se f(x)=x^3, encontre a soma de Riemann de f para a partição regular x0=1, x1=2, x2=3, x3=4, x4=5 de [1,5]: Quando xi^*=xi.

Passo 1

Vamos resolver um exercício de soma de Riemann para a função $ f(x) = x^{3} $ no intervalo f(x) = x^3 . Para isso, vamos usar uma partição regular com os pontos $ x_{0}=1, x_{1}=2, x_{2}=3, x_{3}=4, x_{4}=5 $. Precisamos calcular a soma de Riemann quando os pontos de amostragem $ x_{i}^{*} $ são iguais aos pontos da partição $ x_{i} $. Vamos precisar entender o que é uma soma de Riemann e como aplicá-la passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma soma de Riemann. É uma forma de aproximar a área sob a curva de uma função. Dividimos o intervalo em subintervalos, calculamos o valor da função em pontos específicos desses subintervalos e multiplicamos pelo tamanho do subintervalo. A soma de todos esses produtos nos dá a soma de Riemann.

Passo 3

No nosso caso, o intervalo [1,5] foi dividido em 4 subintervalos iguais: [1,2], [2,3], [3,4] e [4,5]. Cada subintervalo tem tamanho De.

Passo 4

Os pontos de amostragem são $ x_{i}^{*} = x_{i} $. Portanto, vamos calcular o valor da função $ f(x) = x^{3} $ nesses pontos:
  • Para $ x_{0}^{*} = 1 $: $ f(1) = 1^{3} = 1 $
  • Para $ x_{1}^{*} = 2 $: $ f(2) = 2^{3} = 8 $
  • Para $ x_{2}^{*} = 3 $: $ f(3) = 3^{3} = 27 $
  • Para $ x_{3}^{*} = 4 $: $ f(4) = 4^{3} = 64 $

Passo 5

Agora, multiplicamos cada valor da função pelo tamanho do subintervalo De:
  • $ f(1) \times 1 = 1 \times 1 = 1 $
  • $ f(2) \times 1 = 8 \times 1 = 8 $
  • $ f(3) \times 1 = 27 \times 1 = 27 $
  • $ f(4) \times 1 = 64 \times 1 = 64 $

Passo 6

Por fim, somamos todos esses produtos para obter a soma de Riemann:
1 + 8 + 27 + 64 = 100

Resposta

A soma de Riemann para a função $ f(x) = x^{3} $ no intervalo f(x) = x^3 com a partição dada é $ 100 $.

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