Utilize as regras de derivação para calcular a derivada de primeira ordem:
g(x)=sen(x+1x-1)

Passo 1

Então, temos o exercício de encontrar a derivada de primeira ordem da função:
Vamos usar as regras de derivação, especificamente a regra da cadeia e a regra do quociente, que são fundamentais no cálculo diferencial. A regra da cadeia nos ajuda a derivar funções compostas, ou seja, funções dentro de outras funções. Já a regra do quociente é usada para derivar expressões que são divisões de duas funções.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes da função que vamos precisar derivar usando a regra da cadeia. Nossa função é uma composição da função seno com outra função:
u(x) = x + 1x - 1
Então, podemos reescrever g(x) = sen(u(x)) como:

Passo 3

Agora, aplicamos a regra da cadeia para derivar g'(x) = cos(u(x)) cdot u'(x) . A regra da cadeia diz que a derivada de é vezes a derivada de :

Passo 4

Precisamos agora encontrar u(x) = x + 1x - 1 , a derivada de ddx(f(x)g(x)) = f'(x)g(x) - f(x)g'(x)[g(x)]^2 :
Para isso, usamos a regra do quociente, que afirma:
Aqui, e .

Passo 5

Vamos calcular f'(x) = ddx(x + 1) = 1 e g'(x) = ddx(x - 1) = 1 :

Passo 6

Aplicando a regra do quociente:
u'(x) = f'(x)g(x) - f(x)g'(x)[g(x)]^2 = (1)(x - 1) - (x + 1)(1)(x - 1)^2
Simplificando o numerador:
(1)(x - 1) - (x + 1)(1) = x - 1 - x - 1 = -2
Então:
u'(x) = -2(x - 1)^2

Passo 7

Voltando à derivada de g'(x) = cos(u(x)) cdot u'(x) = cos(x + 1x - 1) cdot (-2(x - 1)^2) :
g'(x) = -2 cos(x + 1x - 1)(x - 1)^2
Podemos reescrever isso como:

Resposta

A derivada de primeira ordem da função g'(x) = -2 cos(x + 1x - 1)(x - 1)^2 é:

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