Calcule as seguintes integrais duplas se
;
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla sobre o domínio
:
Informações dadas:
- O domínio é o quadrado
. - A função a integrar é
. - A pergunta é única: calcular o valor numérico da integral dupla sobre
.
Passo 2
Observação útil (sem resolver ainda): escrever a função de forma que fique clara a dependência em
e
.
Note que isto é o produto de uma função que depende só de
,
, por uma função que depende só de
,
. Como a função é contínua em
(produto de funções contínuas), podemos usar o teorema de Fubini: a integral dupla sobre o retângulo é igual ao integral iterado e, por separação, ao produto das integrais unidimensionais:
Explicando rapidamente o que foi usado:
- Fubini garante que
quando é contínua no retângulo. - Se
então a integral separa em produto de integrais unidimensionais.
Passo 3
Calcular a integral em
:
Usa-se a regra de potência para integrais: para
,
Aplicando com
e limites
a
:
Passo 4
Calcular a integral em
:
Aqui o método natural é a substituição (mudança de variável). Explico detalhadamente:
- Escolher
. Então é função monótona de em . - Calcular
: . Assim . - Trocar os limites: quando
tem ; quando tem .
Substituindo na integral:
Agora integrar
: a primitiva de
é
. Assim,
porque
.
Passo 5
Combinar os resultados das integrais separadas conforme a fatoração do Passo 2:
- Integral em
: . - Integral em
: .
Portanto a integral dupla vale