Calcule as seguintes integrais duplas se D=[0,1] \times[0,1]
\iint_{D}(x y)^{2} \cos x^{3} d x d y;

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla sobre o domínio D=[0,1]\times[0,1]:
\iint_{D} (x y)^{2} \cos x^{3}\, dx\, dy.
Informações dadas:
  • O domínio é o quadrado [0,1]\times[0,1].
  • A função a integrar é (x y)^{2}\cos x^{3}.
  • A pergunta é única: calcular o valor numérico da integral dupla sobre D.

Passo 2

Observação útil (sem resolver ainda): escrever a função de forma que fique clara a dependência em x e y.
(xy)^2\cos x^{3}=x^{2}y^{2}\cos\bigl(x^{3}\bigr).
Note que isto é o produto de uma função que depende só de x, x^{2}\cos\bigl(x^{3}\bigr), por uma função que depende só de y, y^{2}. Como a função é contínua em D (produto de funções contínuas), podemos usar o teorema de Fubini: a integral dupla sobre o retângulo é igual ao integral iterado e, por separação, ao produto das integrais unidimensionais:
\iint_{D} x^{2}y^{2}\cos\bigl(x^{3}\bigr)\,dx\,dy = \left(\int_{0}^{1} x^{2}\cos\bigl(x^{3}\bigr)\,dx\right) \left(\int_{0}^{1} y^{2}\,dy\right).
Explicando rapidamente o que foi usado:
  • Fubini garante que \iint_{D} f(x,y)\,dx\,dy=\int_0^1\!\bigl(\int_0^1 f(x,y)\,dy\bigr)\,dx quando f é contínua no retângulo.
  • Se f(x,y)=g(x)h(y) então a integral separa em produto de integrais unidimensionais.

Passo 3

Calcular a integral em y:
\int_{0}^{1} y^{2}\,dy.
Usa-se a regra de potência para integrais: para n\neq -1,
\int y^{n}\,dy=\frac{y^{n+1}}{n+1}+C.
Aplicando com n=2 e limites 0 a 1:
\int_{0}^{1} y^{2}\,dy=\left[\frac{y^{3}}{3}\right]_{0}^{1}=\frac{1^{3}}{3}-\frac{0^{3}}{3}=\frac{1}{3}.

Passo 4

Calcular a integral em x:
\int_{0}^{1} x^{2}\cos\bigl(x^{3}\bigr)\,dx.
Aqui o método natural é a substituição (mudança de variável). Explico detalhadamente:
  • Escolher u=x^{3}. Então u é função monótona de x em [0,1].
  • Calcular du: \,du=3x^{2}\,dx. Assim \,x^{2}\,dx=\dfrac{du}{3}.
  • Trocar os limites: quando x=0 tem u=0^{3}=0; quando x=1 tem u=1^{3}=1.
Substituindo na integral:
\int_{0}^{1} x^{2}\cos\bigl(x^{3}\bigr)\,dx = \int_{u=0}^{u=1} \cos(u)\cdot \frac{du}{3} = \frac{1}{3}\int_{0}^{1}\cos(u)\,du.
Agora integrar \cos(u): a primitiva de \cos(u) é \sin(u). Assim,
\frac{1}{3}\int_{0}^{1}\cos(u)\,du=\frac{1}{3}\bigl[\sin(u)\bigr]_{0}^{1}=\frac{1}{3}\bigl(\sin(1)-\sin(0)\bigr)=\frac{1}{3}\sin(1),
porque \sin(0)=0.

Passo 5

Combinar os resultados das integrais separadas conforme a fatoração do Passo 2:
  • Integral em x: \displaystyle \int_{0}^{1} x^{2}\cos\bigl(x^{3}\bigr)\,dx=\dfrac{1}{3}\sin(1).
  • Integral em y: \displaystyle \int_{0}^{1} y^{2}\,dy=\dfrac{1}{3}.
Portanto a integral dupla vale
\left(\frac{1}{3}\sin(1)\right)\left(\frac{1}{3}\right) = \frac{1}{3}\cdot\frac{1}{3}\sin(1).

Resposta

\dfrac{\sin 1}{9}

Exercícios relacionados