Calcule as seguintes integrais duplas
(f) integral0^pi / 2 integral0^pi 8 sen(x2+y) d x d y

Passo 1

Aqui a gente quer calcular a integral dupla
I = integral0^pi/2integral0^pi8,sinl(x2+yr),dx,dy
O assunto é integrais duplas feitas por integração iterada, e precisaremos usar uma substituição simples para integrar em relação a x.

Passo 2

Para a integral interna em x, definimos
Ix(y)=integral0^pi8,sinl(tfracx2+yr),dx
Fazendo a mudança de variável u=tfracx2+y, temos du=tfrac12dx ou dx=2,du. Quando x=0, u=y; e quando x=pi, u=tfracpi2+y. A integral vira
Ix(y)=integralu=y^u=tfracpi2+y8,sin(u)cdot2,du = 16integraly^tfracpi2+ysin(u),du

Passo 3

Calculando essa integral de u:
16integraly^tfracpi2+ysin(u),du = 16l[-cos(u)r]y^tfracpi2+y = 16l[-cosl(tfracpi2+yr) + cos(y)r]
Como cos(tfracpi2+y)= -sin(y), isso fica
Ix(y)=16l[sin(y)+cos(y)r]

Passo 4

Agora voltamos à integral externa em y:
I=integral0^pi/2Ix(y),dy = 16integral0^pi/2l[sin(y)+cos(y)r],dy
Isso se separa em duas integrais conhecidas:

Passo 5

calculamos
integral0^pi/2sin(y),dy = l[-cos(y)r]0^pi/2 = 1, integral0^pi/2cos(y),dy = l[sin(y)r]0^pi/2 = 1
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Passo 6

multiplicando pelo fator 16 temos
I = 16l(1+1r) = 32

Resposta

32

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