Calcule as seguintes integrais duplas
(k) integral0^infty integral1^e y^2[Ln(x)]^3[1-Ln(x)]^4 e^-yx d x d y

Passo 1

O exercício pede pra calcular a integral dupla
integral0^inftyintegral1^ey^2[ln(x)]^3[1-ln(x)]^4e^-yx,dx,dy
O conteúdo envolve integrais duplas, separação de variáveis e as funções Gama e Beta; vamos usar a fatoração do integrando e propriedades dessas funções.

Passo 2

Como o integrando se separa em parte que depende só de y e parte que depende só de x, podemos escrever
I=integral0^inftyy^2e^-ydytimesintegral1^e[ln(x)]^3[1-ln(x)]^4xdx
Isso economiza trabalho, porque cada integral vira um problema padrão.

Passo 3

Para a parte em y:
integral0^inftyy^2e^-ydy=Gamma(3)=2!=2
Aqui usamos a definição da função Gama, Gamma(n+1)=n!.

Passo 4

Para a parte em x, fazemos a troca de variável t=ln(x), daí dt=dx/x e os limites vão de 0 a 1. Assim
integral1^e[ln(x)]^3[1-ln(x)]^4xdx=integral0^1t^3(1-t)^4dt=B(4,5)
E como B(a,b)=Gamma(a)Gamma(b)Gamma(a+b), temos
B(4,5)=3!,4!8!=6cdot2440320=1280

Passo 5

Multiplicando os resultados das duas integrais se separadas, obtemos
I=2times1280=1140

Resposta

1140

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