Calcule as seguintes integrais duplas
(k)
(k)
Passo 1
O exercício pede pra calcular a integral dupla
O conteúdo envolve integrais duplas, separação de variáveis e as funções Gama e Beta; vamos usar a fatoração do integrando e propriedades dessas funções.
Passo 2
Como o integrando se separa em parte que depende só de
e parte que depende só de
, podemos escrever
Isso economiza trabalho, porque cada integral vira um problema padrão.
Passo 3
Para a parte em
:
Aqui usamos a definição da função Gama,
.
Passo 4
Para a parte em
, fazemos a troca de variável
, daí
e os limites vão de 0 a 1. Assim
E como
, temos
Passo 5
Multiplicando os resultados das duas integrais se separadas, obtemos