Calcule as seguintes integrais duplas:
\iint_{R}|\cos (x y)| d A, em que R é o quadrado [0, \pi] \times[0, \pi].

Passo 1

O enunciado pede o cálculo da integral dupla
I = \iint_{R} \bigl|\cos(xy)\bigr|\,dA,
onde R=[0,\pi]\times[0,\pi].
O conteúdo é aplicação do Teorema de Fubini e mudança de variáveis em integrais duplas. Vamos usar
  1. Fubini para escrever I como iterada.
  2. A troca de variáveis u=xy para simplificar a dependência do integrando.

Passo 2

Escrevendo pela ordem dy\,dx e fazendo u=xy no integral interno:
I=\int_{x=0}^{\pi}\Bigl[\int_{y=0}^{\pi}|\cos(xy)|\,dy\Bigr]dx.
Para cada x>0, com u=xy temos du=x\,dy, isto é dy=\tfrac{du}{x}, e quando y vai de 0 a \pi, u vai de 0 a x\pi. Logo
\int_{y=0}^{\pi}|\cos(xy)|\,dy =\int_{u=0}^{x\pi}|\cos u|\;\frac{du}{x} =\frac{1}{x}\int_{0}^{x\pi}|\cos u|\,du.
Portanto
I=\int_{0}^{\pi}\frac{1}{x}\Bigl[\int_{0}^{x\pi}|\cos u|\,du\Bigr]dx.

Passo 3

Agora trocamos a ordem de integração na região em (x,u).
Em (x,u) temos 0\le x\le\pi e 0\le u\le x\pi. Invertendo, u varia de 0 a \pi^2, e para cada u o x varia de u/\pi até \pi. Assim
I =\int_{u=0}^{\pi^2}\int_{x=u/\pi}^{\pi}|\cos u|\;\frac{1}{x}\,dx\,du.
Como |\cos u| não depende de x, o interno é
\int_{x=u/\pi}^{\pi}\frac{dx}{x} =\ln\bigl(\pi\bigr)-\ln\bigl(u/\pi\bigr) =2\ln\pi-\ln u.

Passo 4

Substituindo de volta em I, obtemos
I =\int_{0}^{\pi^2}|\cos u|\;\bigl(2\ln\pi-\ln u\bigr)\,du =\int_{0}^{\pi^2}|\cos u|\;\ln\!\Bigl(\frac{\pi^2}{u}\Bigr)\,du.
Dessa forma expressamos a integral em uma única variável u, com integrando envolvendo \lvert\cos u\rvert e logaritmo.

Resposta

\boxed{\,\iint_{R}|\cos(xy)|\,dA =\int_{0}^{\pi^2}|\cos u|\;\bigl(2\ln\pi-\ln u\bigr)\,du =\int_{0}^{\pi^2}|\cos u|\;\ln\!\Bigl(\frac{\pi^2}{u}\Bigr)\,du\,.}

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