Agora trocamos a ordem de integração na região em (x,u).
Em (x,u) temos 0\le x\le\pi e 0\le u\le x\pi. Invertendo, u varia de 0 a \pi^2, e para cada u o x varia de u/\pi até \pi. Assim
I =\int_{u=0}^{\pi^2}\int_{x=u/\pi}^{\pi}|\cos u|\;\frac{1}{x}\,dx\,du.
Como |\cos u| não depende de x, o interno é
\int_{x=u/\pi}^{\pi}\frac{dx}{x} =\ln\bigl(\pi\bigr)-\ln\bigl(u/\pi\bigr) =2\ln\pi-\ln u.
Passo 4
Substituindo de volta em I, obtemos
I =\int_{0}^{\pi^2}|\cos u|\;\bigl(2\ln\pi-\ln u\bigr)\,du =\int_{0}^{\pi^2}|\cos u|\;\ln\!\Bigl(\frac{\pi^2}{u}\Bigr)\,du.
Dessa forma expressamos a integral em uma única variável u, com integrando envolvendo \lvert\cos u\rvert e logaritmo.