Calcule as seguintes integrais duplas:
, em que
é o retângulo
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla
onde
. Vamos usar o Teorema de Fubini para escrever como uma integral iterada e, em seguida, aplicar integração por partes no cálculo interno.
Passo 2
Pela Fubini, podemos escrever
Focamos primeiro na integral interna
Passo 3
Para
vemos que
é constante em relação a
. Então
Usamos integração por partes em
, definindo
,
logo
Assim
logo
Assim
Multiplicando por
, obtemos
Passo 4
Aplicando os limites de
de
a
:
Logo a integral total vira
Passo 5
Separamos
Denotemos
Note que
portanto
Além disso
. Então a integral total é
.
Resposta
O valor da integral dupla é
.