Calcule as seguintes integrais duplas:
\iint_{R} x^{2} y e^{x y} d A, em que R é o retângulo [0,1] \times[0,2].

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\iint_{R} x^{2}y\,e^{xy}\,dA
onde R=[0,1]\times[0,2]. Vamos usar o Teorema de Fubini para escrever como uma integral iterada e, em seguida, aplicar integração por partes no cálculo interno.

Passo 2

Pela Fubini, podemos escrever
\iint_{R} x^{2}y\,e^{xy}\,dA =\int_{x=0}^{1}\!\Bigl(\int_{y=0}^{2} x^{2}y\,e^{xy}\,dy\Bigr)\,dx.
Focamos primeiro na integral interna
\int_{0}^{2} x^{2}y\,e^{xy}\,dy.

Passo 3

Para \displaystyle \int x^{2}y\,e^{xy}\,dy vemos que x é constante em relação a y. Então
\int x^{2}y\,e^{xy}\,dy = x^{2}\int y\,e^{xy}\,dy.
Usamos integração por partes em \displaystyle \int y\,e^{xy}\,dy, definindo \displaystyle u = y,\\ dv = e^{xy}dy,
logo \displaystyle du = dy,\\ v = \frac{1}{x}e^{xy}.
Assim
\int y\,e^{xy}\,dy =\frac{y\,e^{xy}}{x}-\int\frac{e^{xy}}{x}\,dy =\frac{e^{xy}}{x}\bigl(y-\frac{1}{x}\bigr) =\frac{e^{xy}(xy-1)}{x^{2}}.
Multiplicando por x^{2}, obtemos
\int x^{2}y\,e^{xy}\,dy =e^{xy}(xy-1).

Passo 4

Aplicando os limites de y de 0 a 2:
\int_{0}^{2} x^{2}y\,e^{xy}\,dy =\bigl[e^{xy}(xy-1)\bigr]_{y=0}^{y=2} =e^{2x}(2x-1)-\bigl(e^{0}(0-1)\bigr) =e^{2x}(2x-1)+1.
Logo a integral total vira
\int_{0}^{1}\bigl(e^{2x}(2x-1)+1\bigr)\,dx.

Passo 5

Separamos
\int_{0}^{1}e^{2x}(2x-1)\,dx +\int_{0}^{1}1\,dx.
Denotemos
A=\int_{0}^{1}(2x-1)e^{2x}\,dx.
Note que
\frac{d}{dx}\bigl(xe^{2x}-e^{2x}\bigr) =(2x-1)e^{2x},
portanto
A=\bigl[xe^{2x}-e^{2x}\bigr]_{0}^{1} =(e^{2}-e^{2})-\bigl(0-1\bigr) =1.
Além disso \displaystyle\int_{0}^{1}1\,dx=1. Então a integral total é A+1=1+1=2.

Resposta

O valor da integral dupla é 2.

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