Calcule as seguintes integrais duplas.
\int_{0}^{1} \int_{x^{3}}^{x}(1+2 y) d y d x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\int_{0}^{1}\int_{x^{3}}^{x}(1+2y)\,dy\,dx.
Isso é uma integração iterada: primeiro integramos em y e depois em x.

Passo 2

Vamos calcular a integral interna em y. Como \int(1+2y)\,dy=y+y^{2}, avaliamos de y = x^{3} até y = x:
\int_{x^{3}}^{x}(1+2y)\,dy = \bigl(x + x^{2}\bigr) - \bigl(x^{3} + x^{6}\bigr).

Passo 3

Substituindo esse resultado na integral externa, obtemos
\int_{0}^{1}\bigl(x + x^{2} - x^{3} - x^{6}\bigr)\,dx.

Passo 4

Integramos termo a termo de 0 a 1:
\int_{0}^{1}x\,dx=\tfrac12,\quad \int_{0}^{1}x^{2}\,dx=\tfrac13,\quad \int_{0}^{1}x^{3}\,dx=\tfrac14,\quad \int_{0}^{1}x^{6}\,dx=\tfrac17.

Passo 5

Somando e subtraindo as frações:
\tfrac12 + \tfrac13 - \tfrac14 - \tfrac17 = \frac{42+28-21-12}{84} = \frac{37}{84}.

Resposta

\displaystyle \frac{37}{84}

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