Determine o volume do sólido S indicado, se
S está abaixo do paraboloide elíptico x^{2} / 4+y^{2} / 2+z=1 e acima do retângulo R=[-1,1] \times[-2,2].

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido S que está abaixo do paraboloide elíptico
x^{2}/4 \;+\; y^{2}/2 \;+\; z \;=\; 1
e acima do retângulo R = [-1,1]\times[-2,2] situado no plano z=0.
O conteúdo aqui é cálculo de volume por integrais duplas: primeiro isolamos
z \;=\; 1 \;-\;\frac{x^{2}}{4}\;-\;\frac{y^{2}}{2}
e notamos que o sólido existe apenas onde z\ge0, isto é
1-\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{2}\;\ge\;0.

Passo 2

Determinar a projeção efetiva no plano xy:
1-\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{2}\ge0 \quad\Longleftrightarrow\quad \frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{2}\le1.
Dentro do retângulo R vemos que a região útil é
E = \bigl\{(x,y)\in[-1,1]\times[-2,2]\;\big|\; \frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{2}\le1\}.
No restante de R o paraboloide fica abaixo de z=0 e não contribui para o volume.

Passo 3

O volume é dado por
V \;=\;\iint_{E}\Bigl(1-\tfrac{x^{2}}{4}-\tfrac{y^{2}}{2}\Bigr)\,dx\,dy.
Em coordenadas cartesianas note que, para cada x\in[-1,1],
y\in\Bigl[-\sqrt{2-\tfrac{x^{2}}{2}},\;\sqrt{2-\tfrac{x^{2}}{2}}\Bigr].
Mas fica mais elegante fazer uma transformação que envie a elipse unité:

Passo 4

Use a mudança de variáveis
u=\frac{x}{2},\quad v=\frac{y}{\sqrt{2}},
que mapeia \frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{2}\le1 no disco u^{2}+v^{2}\le1.
O Jacobiano vale
\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)} = \det\begin{pmatrix}2&0\\\ 0&\sqrt{2}\end{pmatrix} =2\sqrt{2},
e a função no integrando vira
1-\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{2} =1 - u^{2} - v^{2}.
Então
V = \iint_{u^{2}+v^{2}\le1}\bigl(1-u^{2}-v^{2}\bigr)\,(2\sqrt{2})\,du\,dv.

Passo 5

Passe agora a coordenadas polares (u,v)=(r\cos\theta,r\sin\theta), com 0\le r\le1, 0\le\theta\le2\pi. Assim
V =2\sqrt{2}\int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{1}\bigl(1-r^{2}\bigr)\,r\,dr\,d\theta.
Calcule o integral em r:
\int_{0}^{1}\bigl(r - r^{3}\bigr)dr =\left[\frac{r^{2}}{2}-\frac{r^{4}}{4}\right]_{0}^{1} =\frac12-\frac14=\frac14.
Logo
V =2\sqrt{2}\;\Bigl(\frac14\Bigr)\;\int_{0}^{2\pi}d\theta =2\sqrt{2}\times\frac14\times2\pi =\pi\sqrt{2}.

Resposta

V = \pi\sqrt{2}.

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