Determine o volume do sólido
indicado, se
está abaixo do paraboloide elíptico
e acima do retângulo
.
Passo 1
O enunciado pede o volume do sólido
que está abaixo do paraboloide elíptico
e acima do retângulo
situado no plano
.
O conteúdo aqui é cálculo de volume por integrais duplas: primeiro isolamos
O conteúdo aqui é cálculo de volume por integrais duplas: primeiro isolamos
e notamos que o sólido existe apenas onde
, isto é
Passo 2
Determinar a projeção efetiva no plano
:
Dentro do retângulo
vemos que a região útil é
No restante de
o paraboloide fica abaixo de
e não contribui para o volume.
Passo 3
O volume é dado por
Em coordenadas cartesianas note que, para cada
,
Mas fica mais elegante fazer uma transformação que envie a elipse unité:
Passo 4
Use a mudança de variáveis
que mapeia
no disco
.
O Jacobiano vale
O Jacobiano vale
e a função no integrando vira
Então
Passo 5
Passe agora a coordenadas polares
, com
,
. Assim
Calcule o integral em
:
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