Calcule as seguintes integrais duplas.
\int_{0}^{1} \int_{x^{3}}^{x}(1+2 y) d y d x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\int_{0}^{1}\!\int_{x^{3}}^{x}(1+2y)\,dy\,dx.
O conteúdo é integração iterada: primeiro fazemos a antiderivada em y (integral interna) e depois em x (integral externa).

Passo 2

Calcular a integral interna em y:
a antiderivada de 1+2y é y + y^2. Logo,
\int_{x^3}^{x}(1+2y)\,dy = \bigl[y + y^2\bigr]_{y=x^3}^{y=x} = (x + x^2) - \bigl(x^3 + x^6\bigr) = x + x^2 - x^3 - x^6.

Passo 3

Agora integrar em x:
\int_{0}^{1}\bigl(x + x^2 - x^3 - x^6\bigr)\,dx = \left[\frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} - \frac{x^7}{7}\right]_{0}^{1} = \frac12 + \frac13 - \frac14 - \frac17 = \frac{37}{84}.

Resposta

\displaystyle \frac{37}{84}

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