Calcule as seguintes integrais duplas: integral duplaD x1+y^2 d x d y, sendo D=[1,2] times[0,1].

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla integral duplaDx1+y^2,dx,dy sobre o retângulo D=[1,2]times[0,1]. O conteúdo é integração dupla em retângulos e vamos usar o Teorema de Fubini para separar a ordem de integração e integrar em x primeiro e depois em y.

Passo 2

Pelo Teorema de Fubini, podemos escrever
integral duplaDx1+y^2,dx,dy=integraly=0^1integralx=1^2x1+y^2,dx,dy
Dentro da integral interna, 11+y^2 é constante em relação a x, então
integraly=0^1integralx=1^2x1+y^2,dx,dy=integral0^111+y^2l(integral1^2x,dxr)dy

Passo 3

Calculamos a integral interna em x:
integral1^2x,dx=x^22|1^2=42-12=32
Substituindo de volta, a integral torna-se
32integral0^111+y^2,dy

Passo 4

Como integral11+y^2,dy=arctan(y), temos
integral0^111+y^2,dy=arctan(1)-arctan(0)=pi4
Multiplicando por tfrac32, o valor final da integral é
32cdotpi4=3pi8

Resposta

3pi8

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