Determine todos os valores de
(e todas as soluções correspondentes), para os quais existem soluções não-nulas do problema de valor de contorno:
Passo 1
Temos o problema de valor de contorno linear homogêneo
2y’’(x) − λy’(x) + y(x) = 0 com y(0)=0 e y(π)=0. O conteúdo é equação diferencial linear com coeficientes constantes e condições de contorno de Dirichlet.
2y’’(x) − λy’(x) + y(x) = 0 com y(0)=0 e y(π)=0. O conteúdo é equação diferencial linear com coeficientes constantes e condições de contorno de Dirichlet.
Passo 2
Escrevemos a equação característica de 2r² − λr + 1 = 0. O discriminante é Δ = λ² − 8. Dependendo de Δ, teremos raízes reais distintas (Δ>0), raiz real dupla (Δ=0) ou raízes complexas conjugadas (Δ<0).
Passo 3
Caso Δ>0 (λ²>8): as raízes r₁ e r₂ são reais distintas. A solução geral é y(x)=C₁e{r₁x}+C₂e{r₂x}. A condição y(0)=0 dá C₁+C₂=0, logo y(x)=C₁(e{r₁x}−e{r₂x}). Impor y(π)=0 exige e{r₁π}=e{r₂π}, o que só ocorre se r₁=r₂ (contradição). Logo, apenas a solução trivial.
Passo 4
Caso Δ=0 (λ²=8): há raiz dupla r=λ/4=±√2/2 e solução geral y(x)=(A+Bx)e^{rx}. A condição y(0)=0 obriga A=0, ficando y(x)=Bxe^{rx}. Impondo y(π)=0 dá Bπe^{rπ}=0, forçando B=0. Só a trivial.
Passo 5
Caso Δ<0 (λ²<8): as raízes são r=λ/4±iω, com ω=√(8−λ²)/4. A solução geral é y(x)=e^{(λ/4)x}[A
cos(ωx)+B
sin(ωx)]. A condição y(0)=0 dá A=0, então y(x)=B
e^{(λ/4)x}
sin(ωx). Impor y(π)=0 dá sin(ωπ)=0 ⇒ ωπ=nπ ⇒ ω=n, n∈ℤ. Mas ω=√(8−λ²)/4 só pode ser zero ou não inteiro, não existindo n≠0 que satisfaça. Logo só a solução trivial.
cos(ωx)+B
sin(ωx)]. A condição y(0)=0 dá A=0, então y(x)=B
e^{(λ/4)x}
sin(ωx). Impor y(π)=0 dá sin(ωπ)=0 ⇒ ωπ=nπ ⇒ ω=n, n∈ℤ. Mas ω=√(8−λ²)/4 só pode ser zero ou não inteiro, não existindo n≠0 que satisfaça. Logo só a solução trivial.
Passo 6
Em todos os casos concluímos que não há λ∈ℝ que permita solução não-nula; a única solução é y(x)≡0.
Resposta
Não existe valor real de λ que forneça solução não trivial; a única solução é y(x)≡0.