Encontre uma representação em série de potências para a função e determine o intervalo de convergência. f(x)=23 x+4

Passo 1

O enunciado pede para representar a função f(x)=23x+4 como uma série de potências em torno de zero e determinar seu intervalo de convergência. O conteúdo envolvido é a expansão em série geométrica, em que vamos usar a fórmula 11-r=sumn=0^infty r^n válida para |r|<1.

Passo 2

Primeiro, reescrevemos f(x) de modo a ter um denominador da forma 1-r. Observamos que
f(x)=23x+4=24l(1+tfrac34xr)=12cdot11-l(-tfrac34xr)

Passo 3

Em seguida, aplicamos a expansão geométrica com r=-tfrac34x. Para |r|<1 temos
11-r=sumn=0^infty r^n

Passo 4

Logo, substituindo em f(x) obtemos
f(x)=12sumn=0^inftyl(-tfrac34xr)^n=sumn=0^infty(-1)^n2l(tfrac34r)^n x^n

Passo 5

Por fim, o critério de convergência da série geométrica |r|<1 impõe
l| -tfrac34xr|<1Longrightarrow |x|

Resposta

f(x)=sumn=0^infty(-1)^n2l(tfrac34r)^n x^n, com intervalo de convergência |x|.

Exercícios relacionados