Encontre uma representação em série de potências para a função e determine o intervalo de convergência.
Passo 1
O enunciado pede para representar a função
como uma série de potências em torno de zero e determinar seu intervalo de convergência. O conteúdo envolvido é a expansão em série geométrica, em que vamos usar a fórmula
válida para
.
Passo 2
Primeiro, reescrevemos
de modo a ter um denominador da forma
. Observamos que
Passo 3
Em seguida, aplicamos a expansão geométrica com
. Para
temos
Passo 4
Logo, substituindo em
obtemos
Passo 5
Por fim, o critério de convergência da série geométrica
impõe